Author Archives: Sofia Sabatti

Allenamento n° 6 / 2020

Sesto allenamento in vista dei Campionati

Ecco il sesto allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Cubi e colori

Abbiamo a disposizione sei colori per pitturare le facce di una serie di cubi. In ciascun cubo, ogni faccia deve essere pitturata uniformemente con uno solo dei sei colori e ogni faccia deve essere di un colore diverso da quello delle altre.

Tenendo presente che due cubi sono uguali quando uno può essere ottenuto ruotando l’altro, quanti cubi diversi possono essere pitturati a queste condizioni?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios 4. Problemas e histórias da matemática no público, edições Afrontamento, 1995)

Risposte al quinto allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto cinque risposte al problema “Pesci e pescatori“, tutte corrette: grazie a Giada (seconda D), Gioia (prima A), Ambra (seconda C), Filippo (terza D) e Alvise (prima B)!

Qui trovate l’inizio della soluzione di Ambra:

Ambra ragiona proprio come fanno i matematici. Dice: se Enrico e Alvise pescano lo stesso numero di pesci, chiamo n questo numero che non conosco. Poi so che anche il figlio di Dario pesca dei pesci, ma non so quanti sono, e nemmeno so se sono tanti quanti quelli di Enrico e Alvise, quindi scelgo un’altra lettera per indicare il numero di pesci che pesca: N. Dario so che pesca il triplo dei pesci di suo figlio, quindi 3×N.

Poi fa tutta una serie di prove:

  • Se N fosse 1, Dario e suo figlio insieme avrebbero pescato 4 pesci, quindi Enrico e Alvise insieme avrebbero pescato 35-4=31 pesci. Ma allora avrebbero dovuto pescare 15,5 pesci a testa, il che non è possibile.
  • Se N fosse 2, Dario e suo figlio insieme avrebbero pescato 8 pesci, quindi Enrico e Alvise insieme avrebbero pescato 35-8=27 pesci. Ma allora avrebbero dovuto pescare 13,5 pesci a testa, il che non è possibile.
  • E così via fino al caso in cui N fosse 8: in tutti i casi, la somma dei pesci pescati da Enrico e Alvise è un numero dispari, quindi non è possibile che loro abbiano pescato lo stesso numero di pesci.
  • Infine se N fosse 9, da soli Dario e suo figlio avrebbero pescato 36 pesci, il che non è possibile perché il totale era 35.

Si sarebbe potuti arrivare alla stessa conclusione lavorando un po’ di più con le lettere invece che con i numeri, o meglio… lavorando un po’ di più con i numeri “generici” invece che con i casi particolari. Per i ragazzi dalla terza media in su, dovrebbe essere più facile. Per gli altri forse un po’ meno, ma… provate a seguire il discorso.

Usiamo le stesse lettere di Ambra per rappresentare le stesse cose. Dovrebbe allora succedere che
n+n+N+3×N=35
Ma:

  • n+n è come dire il doppio di n, e il doppio di n è sicuramente pari;
  • N+3×N=4×N è anche questo sicuramente pari;
  • la somma di due numeri pari è ancora un numero pari, quindi non può essere 35.

Quindi, come Ambra, arriviamo a dire che c’è qualcosa che non quadra, c’è qualcosa di impossibile. E allora concludiamo con lei il nostro ragionamento:

Che cosa abbiamo imparato?

Credo che questo problema metta bene in luce alcuni fatti molto importante (parto da 8, perché 7 cose le abbiamo già imparate commentando gli allenamenti prima di questo).

8. Numeri pari e dispari

La somma di due numeri pari, è sempre un numero pari.
Il prodotto di un numero qualsiasi per un numero pari, è sempre un numero pari.

Sono cose banali, che però era importante notare per risolvere questo problema.

9. Numeri naturali e numeri razionali

A volte succede che, quando pensiamo alle cose di scuola, indossiamo dei “paraocchi” mentali e andiamo dritti alla ricerca delle operazioni da fare, senza usare la testa. In questo caso, qualcuno avrebbe potuto tranquillamente dire che Enrico e Alvise pescano 13,5 pesci a testa, senza accorgersi che una affermazione di questo tipo non ha senso, perché quando si conta quanti pesci si sono pescati, si usano solo i numeri naturali. (Mentre, tanto per fare un esempio, se si pesano i pesci pescati, allora ha senso usare i numeri razionali).

Allenamento n° 5 / 2020

Quinto allenamento in vista dei Campionati

Ecco il quinto allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Pesci e pescatori

Enrico e Dario amano pescare. Un giorno vanno a pesca insieme, entrambi accompagnati dal proprio figlio.
Enrico pesca tanti pesci quanti ne pesca suo figlio.
Dario pesca il triplo dei pesci pescati da suo figlio.

In totale hanno pescato 35 pesci.
Quanti pesci ha pescato ciascun pescatore?

Il figlio di Enrico si chiama Alvise.
Come si chiama il figlio di Dario?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios 4. Problemas e histórias da matemática no público, edições Afrontamento, 1995)

Risposte al quarto allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto tre risposte al problema “La corsa delle bandierine“, nessuna delle quali è del tutto corretta (ma ciascuna delle quali contiene qualche buona idea).

Se sei tra coloro che non sono riusciti a risolvere il gioco delle bandierine, non scoraggiarti! Forse ho esagerato con la difficoltà: sarebbe potuto andare bene per qualche categoria più avanzata rispetto a quelle cui appartengono gli studenti della scuola media. Ho voluto metterlo perché, a mio parere, se la soluzione è difficile da trovare, è anche facile da capire (quando qualcuno te la mostra) e, capìta una volta, la si può usare in tante altre situazioni.

Vediamo un po’ di spiegare come si può fare.

Tutte le risposte che ho ricevuto propongono (o come soluzione, o come tentativo) il considerare di mettere le bandierine nel punto medio dei lati del campo, così:

Applichiamo ora una serie di “riflessioni successive” al rettangolo ABCD e ai vari tratti di percorso in essi segnati, così:

Sei d’accordo sul fatto che la lunghezza del percorso PM+MN+NO+OA è esattamente uguale alla lunghezza del percorso PM+MN’+N’O”+O”A”’?
Se non sei d’accordo, guarda meglio e rifletti!
Ecco, adesso probabilmente sarai d’accordo!

Prova ora a confrontare il percorso rosso (il segmento PA”’) con il percorso a zig zag che abbiamo visto prima.

Sei d’accordo sul fatto che la lunghezza del percorso PA”’ è minore di quella del percorso PM+MN’+N’O”+O”A”’?
Se non sei d’accordo, guarda meglio e rifletti!
Ti chiedo di più: sei d’accordo sul fatto che il percorso rosso è la via più breve per andare da P ad A”’?
Credo che tu non abbia grossi dubbi: lo sai da quando eri piccolo che il percorso più corto per andare da un punto ad un altro è il segmento di retta che li congiunge!
Il problema è che noi non vogliamo andare da P ad A”’, ma da P ad A, passando per gli altri lati del campo.
Proviamo a fare a ritroso lo stesso procedimento che abbiamo fatto prima con i segmenti PM, MN, NO ed OA.

Sei d’accordo sul fatto che la lunghezza del percorso PA”’=PQ+QR’+R’S”+S”A”’ è esattamente uguale a quella del percorso PQ+QR+RS+SA?
E sei d’accordo sul fatto che se PA”’ è la via più breve per andare da P ad A”’ allora il percorso PQ+QR+RS+SA è quello più breve tra tutti quelli che ci permettono di andare da P ad A toccando prima gli altri lati del campo?

Che cosa abbiamo imparato?

Credo che questo problema metta bene in luce un fatto molto importante (parto da 7, perché 6 cose le abbiamo già imparate commentando i primi due allenamenti).

7. Se non puoi andare dritto, trova un modo di raddrizzare il tutto!

Per risolvere questo problema (ed altri simili: tipicamente molti problemi che riguardano il tavolo da biliardo) di fatto occorre sapere solo due cose: che la via più breve per andare da un punto a un altro è il segmento di retta, e che le isometrie (in questo caso la riflessione, ma in altri casi potrebbe essere la rotazione, o la traslazione, o la glissoriflessione) non cambiano le distanze.

Non ci sono altre cose da sapere. Serve però trovare un modo utile per usare queste due informazioni al nostro scopo!

 

Allenamento n° 4 / 2020

Quarto allenamento in vista dei Campionati

Ecco il quarto allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

La corsa delle bandierine

La corsa delle bandierine si svolge in un campo rettangolare di 80 m per 50 m.

Ogni concorrente corre da solo, partendo dal punto medio del lato AB con quattro bandierine in mano. Il suo obiettivo è piantare una bandierina su ciascuno dei lati AD, DC e CB, in questo ordine, e l’ultima bandierina sul vertice A.

Dove dovrebbe attaccare le bandierine un concorrente per rendere il proprio percorso più breve possibile?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios 4. Problemas e histórias da matemática no público, edições Afrontamento, 1995)

Risposte al terzo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto quattro risposte corrette al problema “Send more money“, questa volta da tre ragazze e un ragazzo, tutti di prima e seconda media.

Le lettere del messaggio cifrato corrispondono ai numeri in questo modo:
S=9
E=5
N=6
D=7
M=1
O=0
R=8
Y=2
Quindi, per accontentare harry, Elisabeth dovrà madargli 10 652 dollari canadesi; l’auto usata che Harry vuole comprarsi costa 9 567 dollari canadesi e il treno di gomme invernali costa 1085.

Solo una ragazza mi ha spiegato per benino come ha fatto a trovare la risposta e il suo lavoro mette in evidenza alcuni tentativi, ma anche tanto ragionamento.

Ad esempio: la lettera M non può che corrispondere al numero 1 perchè la somma di due numeri (ad una cifra) non può essere maggiore o uguale a 20 (ossia deve essere minore o uguale a 19 e quindi, se è un numero di due cifre, la cifra delle decine è sicuramente 1): questo implica che quando faccio S+M (ed eventualmente ci aggiungo un riporto che al massimo è 1), essendo S e M al massimo 8 e 9 comunque arrivo ad un numero che come cifra delle decine ha 1.

Ma adesso, S+1 (più un eventuale riporto al massimo di 1) deve dare un numero che come cifra delle decine ha 1 e come cifra delle unità ha O.
Se S fosse 9 e ci fosse il riporto di 1, verrebbe O=1 il che non può essere perchè già M è 1.
Se S fosse 9, e non ci fosse riporto, verrebbe O=0.
Se S fosse 8 e ci fosse il riporto di 1, verrebbe O=0.
Se S fosse 8 e non ci fosse il riporto, non funziona perché la somma sarebbe di una cifra sola.
Quindi siamo certi che O=0.

I ragionamenti di Ambra non si fermano qui, ma… forse è meglio se ciascuno di voi prova ad andare avanti da solo, non pensate?

Che cosa abbiamo imparato?

Giada, Gioia, Ambra e Christian, che sono riusciti a risolvere questo problema, forse non sono riusciti ad imparare niente di nuovo. Chi ci ha provato e non ce l’ha fatta, potrebbe trarre ispirazione dalla seguente riflessione (parto da 6, perché 5 cose le abbiamo già imparate commentando i primi due allenamenti).

6. Tentativi e ragionamenti devono andare a braccetto

Molto spesso siamo convinti che per risolvere un problema di matematica si debba cercare l’operazione da fare, farla e dare la risposta.
Spesso non è così: spesso bisogna provare, fare dei tentativi, verificare se funzionano.
Ora, nella maggior parte dei casi – fortunatamente – abbiamo la possibilità di accompagnare le nostre prove con dei ragionamenti, che ci consentono di limitare il numero di tentativi da fare. Ragionare e provare non sono due strade alternative, ma sono due modi di agire che possono l’uno accompagnare l’altro di continuo.

Come dire: non dobbiamo avere paura di fare dei tentativi, ma possiamo anche cercare di capire sempre se un tentativo che ci viene in mente può essere escluso a priori con qualche ragionamento.

 

Compiti 3aC per il 10-2-20

La calcolatrice ha sempre ragione?

Paolo deve risolvere questo problema:

27 persone devono andare all’aeroporto in taxi. Ogni taxi può trasportare al massimo 5 persone. Quanti taxi bisognerà chiamare?

Paolo fa il calcolo usando la calcolatrice e poi scrive:

Bisognerà chiamare 5,4 taxi.

È sensata la risposta di Paolo?
Perché? C’è una sola risposta possibile o ce n’è più di una?
Voi come rispondereste? Quali operazioni avete fatto per arrivare alla vostra risposta? Quali considerazioni?

Compiti 2aC per il 13-2-20

Per prendere confidenza con la tavola periodica degli elementi

Riguarda, almeno una volta, i video che abbiamo guardato e analizzato in classe nelle scorse lezioni. Cerca di ricordare le cose importanti che ci siamo detti a proposito di come è costruita la tavola periodica.

The new periodic table song

Tom Lehrers – The Elements’ Song

Meet the elements

Per saperne di più (facoltativo)

Un video e una lezione per ogni elemento della tavola periodica

Cliccando sull’immagine qui sotto riportata, vi si aprirà una tavola periodica che vi dà modo, cliccando sulla casella corrispondente a ciascun elemento, di visualizzare una video-lezione per ciascun elemento della tavola periodica. Si tratta di lezioni in inglese, pensate per studenti della scuola superiore, ma in genere abbastanza accattivanti. Alcune hanno i sottotitoli in inglese, altre anche in italiano (non con una traduzione automatica), quindi direi veramente accessibili anche a voi.

Siate curiosi!

periodic videos

Allenamento n° 3 / 2020

Terzo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il terzo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Send more money

Harry, ormai adulto, sposato e con figli, è andato a vivere in Canada, lontano dalla sua famiglia di origine.
Sua nonna Elizabeth è molto ricca e lui sa, come tutti i nipoti, di poter contare su di lei, quando ha bisogno di qualcosa.
Il problema è che Harry non può mostrare in pubblico di aver ancora bisogno della “mancetta” della nonna, e soprattutto la nonna non può mostrare in pubblico di accondiscendere alle richieste del nipote. Sono quindi d’accordo di usare un linguaggio in codice, per mandarsi messaggi cifrati, quando Harry ha bisogno di soldi. La regola di questo messaggio in codice è questa: ogni lettera rappresenta una cifra; a lettera uguale corrisponde cifra uguale e a lettere diverse corrispondono cifre diverse.
Harry decide di comprarsi un’automobile usata, ma in ottime condizioni. Ha bisogno, visto il clima rigido del Canada, anche di un treno di gomme invernali.
Ricevuto il conto dal concessionario, lo manda alla nonna, usando il loro linguaggio in codice. Peccato che comunque si capisca che c’è qualcuno in famiglia che ha bisogno di soldi…
Ad ogni modo, quanti dollari canadesi dovrà mandare Elisabeth a Harry per accontentarlo? Quanto costa l’auto usata che Harry vuole comprarsi? Quanto il treno di gomme invernali?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

Risposte al secondo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto tre risposte corrette al problema “Il disco della libertà“, da tre ragazze. Ragazzi, dove siete?

Siccome io sono decisamente pigra, e siccome loro hanno fatto decisamente un ottimo lavoro, copio-incollo qui di seguito le loro soluzioni:

“Ecco come sono andate le cose: il primo carcerato ragiona sulle affermazioni degli altri due e capisce che il terzo carcerato vede sulla sua schiena (quella del primo) e su quella del secondo o due dischi gialli o un disco giallo e uno nero. Il terzo carcerato quindi non potrà mai rispondere con sicurezza, perché il suo disco potrebbe essere di entrambi i colori. Il secondo carcerato, invece, vede sulla schiena del primo un disco giallo e capisce dalla frase del terzo carcerato che sulla sua schiena ( quella del secondo) e su quella del primo ci sono o due dischi gialli o un disco giallo e uno nero, ma visto che vede il disco di colore giallo attaccato alla schiena del primo carcerato, non riuscirà mai a capire se sulla sua schiena c’è un disco giallo o nero. Il primo carcerato quindi, intende subito che sulla sua schiena c’è un disco giallo perché dalle affermazioni degli altri due si capisce che tra i carcerati c’è almeno un disco giallo e se non ne sono sicuri, significa che il disco giallo non appartiene né al secondo né al terzo carcerato. Quindi il primo carcerato riesce a liberarsi perché, grazie alle affermazioni degli altri due, capisce che sulla sua schiena c’è un disco giallo.”
(Giada, seconda D)

“Ecco come secondo me sono andate le cose: Il terzo carcerato ha detto per primo che non poteva indovinare di che colore fosse il suo cartello e così facendo ha fatto capire che gli altri 2 non potevano avere entrambi un cartello nero (unico caso in cui il terzo carcerato avrebbe potuto sapere con certezza il colore del suo cartello cioè in quel caso giallo). Dopo il terzo anche il secondo carcerato ha detto che non poteva indovinare di che colore era il suo cartello. A questo punto il primo carcerato ha capito che il suo cartello non poteva che essere giallo perché se fosse stato nero, in base a quello che aveva fatto capire il terzo carcerato, il secondo carcerato avrebbe indovinato di che colore era il suo cartello che in quel caso sarebbe stato giallo.”
(Gioia, prima A)

(Ambra, seconda C)

Tutto chiaro, no?

Che cosa abbiamo imparato?

Giada, Gioia e Ambra, che sono riuscite a risolvere questo problema, forse non sono riuscite ad imparare niente di nuovo. Chi ci ha provato e non ce l’ha fatta, potrebbe trarre ispirazione dalle seguenti riflessioni (parto da 4, perché 3 cose le abbiamo già imparate quando abbiamo commentato qui il primo allenamento).

4. Esistono giochi matematici senza numeri e senza calcoli

Una delle obiezioni che spesso mi sento fare quando propongo a tutti di partecipare ai giochi matematici è questa: “Ma io non sono veloce a fare i calcoli!”. Orbene, esistono gare matematica anche di velocità nel calcolo (ad esempio il Campionato italiano di calcolo mentale, che quest’anno si svolgerà a Udine il 21 marzo 2020), ma sono un’altra cosa. Non che un po’ di confidenza con i numeri non serva, ma ci sono tanti giochi in cui non è affatto indispensabile.

5. Qualche volta può essere utile ragionare “per assurdo”, ossia fare finta

Se avete letto le spiegazioni delle vostre compagne, vi sarete accorti che hanno ragionato parecchio.
Partiamo dal terzo carcerato, che dice di non poter sapere di che colore è il disco sulla sua schiena.
Com’è che Giada, Gioia e Ambra da qui capiscono che sulla schiena del primo e del secondo ci sono o due dischi gialli oppure un disco giallo e uno nero?
Perché se fossero due dischi neri (essendoci all’inizio solamente due dischi neri disponibili), il terzo avrebbe potuto capire, vedendoli, che sulla sua schiena c’era un disco giallo.
Questo è il tipico ragionamento che i matematici chiamano “per assurdo”: facciamo finta per un attimo che succeda una cosa (in questo caso: che i dischi del primo e del secondo siano entrambi neri); ti mostro che allora succederebbe una cosa che in realtà non succede, non può succedere, o è assurdo che succeda (in questo caso: il terzo avrebbe capito che il suo disco era giallo).
Qualche volta è difficile dimostrare direttamente che accade una cosa ed è più facile dimostrare che è impossibile il suo contrario!

Allenamento n° 2 / 2020

Secondo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il secondo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Il disco della libertà

A tre carcerati vengono mostrati cinque dischi: tre gialli e due neri.

I tre carcerati sono disposti in “fila indiana”, cosìcché il terzo può vedere le schiene degli altri due, il secondo può vedere la schiena del primo e il primo non vede la schiena di nessuno.

Tre dischi vengono attaccati sulle schiene dei carcerati e i rimanenti due vengono nascosti dalla loro vista.

Le guardie promettono di liberare il carcerato che più velocemente degli altri indovina il colore del disco attaccato alla propria schiena. Il primo carcerato, che non vede nulla, sta per farsi prendere dalla disperazione, quando improvvisamente il terzo carcerato dice: “Io non posso sapere di che colore è il disco sulla mia schiena”.
A quel punto, il secondo carcerato dice: “Nemmeno io.”
Sentite le affermazioni degli altri due, il primo carcerato, esultante, dice: “Sulla mia schiena è attaccato un disco giallo!”. E viene liberato.

Come sono andate le cose?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

Risposte al primo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto sette risposte al problema “Le lancette dell’orologio“, il primo allenamento on-line di quest’anno: un po’ pochine visto che già in 17 mi avete chiesto di iscrivervi ai Campionati! Riuscite a coinvolgere qualche altro giocatore?
Vi dico subito che tutte le risposte che ho ricevuto sono diverse dalla risposta che l’autore del gioco ha previsto, e che anche io condivido.

Una ragazza ha confuso “minuti” con “secondi”, probabilmente, e ha detto che una lancetta supera l’altra 719 volte tra mezzogiorno e mezzanotte. Avrebbe potuto leggere con più attenzione il testo, ma sicuramente, per la pazienza dimostrata, merita un encomio (che non è una brutta cosa: se non sapete cos’è, andate a cercare sul dizionario) .

Cinque di voi hanno risposto che la lancetta dei minuti supera quella delle ore 12 volte tra mezzogiorno e mezzanotte. In un certo senso avete ragione: le due lancette sono sovrapposte 12 volte in questo lasso di tempo.

Nelle immagini qui sopra, la lancetta dei secondi non è al posto giusto e gli orari indicati sono arrotondati ai minuti. Arrotondando ai secondi gli orari in cui le lancette si sovrappongono diventano le 12:00:00, le 13:05:27, le 14:10:55, le 15:16:22, le 16:21:49, le 17:27:16, le 06:32:44, le 19:38:11, le 20:43:38, le 21:49:05, le 22:54:33 e infine le 24:00:00 (ma sono comunque, tranne che nel primo e nell’ultimo caso, degli arrotondamenti, quindi… poco importa stare a calcolare anche le frazioni di secondo).

La questione però è che il gioco non chiedeva quante volte le lancette sono sovrapposte, ma quante volte avviene il sorpasso. E il sorpasso prevede che prima la lancetta dei minuti stia “dietro” quella delle ore, poi la raggiunga e subito dopo stia “davanti”. Ora: se inizio a guardare l’orologio a mezzogiorno, non vedo un sorpasso, perché non vedo il “prima”; e se smetto di guardare l’orologio a mezzanotte, non vedo un sorpasso, perché non vedo il “dopo”.

Immagino che l’unico di voi che ha risposto che la lancetta dei minuti supera 11 volte quella delle ore abbia escluso o mezzogiorno o mezzanotte dal conteggio, non accorgendosi che l’altra situazione era analoga.

Ad ogni modo, direi che come riscaldamento non è stato niente male: bravi!

Che cosa abbiamo imparato?

Conoscere la risposta a questo quesito difficilmente ci basterà, se non ne traiamo qualche insegnamento più “generale”, nel senso che difficilmente troveremo un quesito proprio uguale (o quasi) a questo.

Provo a scrivere qui sotto le cose che a me sono venute in mente leggendo le vostre risposte (e quelle di alcune persone adulte alle quali ho proposto questo stesso gioco).

1. Non è vero che i giochi debbano essere per forza complicati!

Ho l’impressione che chi ha risposto 719, e quindi ha letto “minuti” e ha inteso “secondi”, non abbia semplicemente sbagliato a leggere, ma (inconsciamente) abbia pensato che contare i sorpassi della lancetta dei minuti fosse troppo banale come richiesta per un gioco matematico!
Spesso i giochi sono meno complicati di quello che pensiamo, soprattutto i primi quesiti nei Campionati internazionali sono proprio semplici: non complicatevi la vita!

2. Un testo verbale è sempre un po’ ambiguo: riflettiamo sui significati delle parole!

Gli autori dei testi dei problemi di matematica spesso devono scegliere tra il non dare nulla per scontato, formulando testi lunghi e pesanti da leggere, e lo scrivere testi un po’ più leggeri, dove però alcune cose sono lasciate all’interpretazione del lettore. In questo caso, per esempio, non si dice se le lancette dell’orologio si muovono a scatti oppure di un movimento continuo (ma forse questo non è importante per trovare la risposta al problema). Inoltre non si spiega che cosa si intende per “superare”: anche alcuni professori di matematica che hanno fatto questo gioco hanno risposto, come la maggior parte di voi, “12 volte”. Purtroppo, durante le competizioni non abbiamo a disposizione il vocabolario di italiano (che, comunque, non sempre riuscirebbe a dirimere la questione fino in fondo).

3. I “casi limite” spesso sono casi particolari.

Spesso si tratta di studiare una situazione entro dei limiti definiti. Non sempre le situazioni “al limite” sono diverse da quella generale, ma qualche volta (come in questo caso) sì: meglio starci particolarmente attenti!

Allenamento n° 1 / 2020

Primo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il primo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Le lancette dell’orologio

Da mezzogiorno a mezzanotte (dello stesso giorno), quante volte la lancetta dei minuti supera quella delle ore?

(da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

 

 

Compiti 3aC per il 7-1-20

I cambiamenti fisici che avvengono nella pubertà

Esercizio 1

Elenca i cambiamenti fisici tipici della pubertà, specificando se avvengono solo nei maschi, solo nelle femmine o in entrambi i generi.

I cambiamenti psicologici che avvengono nella pubertà

Ispirandoci al film Inside Out abbiamo riflettuto su alcuni cambiamenti che avvengono nella mente dell’uomo dalla prima infanzia all’età adulta.
Le seguenti domande vogliono aiutarti a ripercorrere alcune delle riflessioni fatte in classe.

Esercizio 2

Quali differenze noti in come viene rappresentata la console di comando nella mente della bambina appena nata e negli anni successivi? Quali cambiamenti che avvengono nella nostra mente durante la nostra crescita esse vogliono rappresentare?

Esercizio 3

Quali differenze noti in come vengono rappresentate Gioia, Tristezza, Disgusto, Rabbia e Paura nella bambina e nei suoi genitori?
Quali cambiamenti che avvengono nella nostra mente durante la nostra crescita esse vogliono rappresentare?

Esercizio 4

L’immagine seguente rappresenta un momento cruciale nel film.
A quale avvenimento fondamentale per la crescita di una persona essa corrisponde?

Compiti 2aC per il 3-12-19

Misura dell’area di figure su carta a quadretti

Copia le seguenti figure sul tuo quaderno, contando i quadretti.

Misura l’area delle figure da te disegnate sul quaderno, usando come unità di misura il centimetro quadrato (cm2), come abbiamo fatto in classe venerdì 29 novembre.

Poligoni disegnati su carta a quadretti

 

Compiti 2aC per il 27-11-19

Altezze e ortocentro di un triangolo su carta a quadretti

Disegna sul tuo quaderno dei triangoli “uguali” a questi. Come in classe quando copi dalla lavagna, per “uguali” si intende qui che abbiano la stessa forma, anche se (ovviamente) le dimensioni saranno diverse. Un quadretto dei disegni qui sotto riportati deve essere considerato “uguale” a un quadretto del tuo quaderno.

Disegnato il triangolo, disegna le sue altezze e trova il suo ortocentro, usando (come strumenti da disegno) una matita ben appuntita, una riga (anche un pezzo di cartoncino rigido va bene) e la carta a quadretti.

Se non ricordi più come fare, puoi guardare il videotutorial incorporato più sotto. Attento, però: il triangolo disegnato nel videotutorial non ha i lati inclinati nello stesso modo di quelli del triangolo che ti è stato assegnato. Cerca quindi (guardando il videotutorial e ripassando la lezione svolta in classe lunedì 18 novembre) di capire qual è il procedimento da seguire e poi di applicarlo al triangolo che è qui disegnato.

Triangoli disegnati su carta a quadretti

Per ripassare…

Compiti 2aC per il 26-11-19

Mediane e baricentro

Costruisci con GeoGebra un triangolo, le sue mediane e il suo baricentro.

Puoi seguire, se ti serve, questo videotutorial:

Compiti 2aC per il 28-11-19

Costruisci un atomo

Dopo aver studiato

  • che cosa è il numero atomico di un elemento
  • che cosa è il numero di massa di un emento
  • quando un atomo è neutro
  • quando un atomo è uno ione positivo e quando è uno ione negativo

consolida i tuoi apprendimenti ed esercitati con l’applicazione “Costruisci un atomo” del sito Phet-Colorado:

 

Compiti 2aC per il 25-11-19

Altezze e ortocentro di un triangolo

Disegna, con GeoGebra, un triangolo e le altezze relative ai suoi lati. Fammi avere il tuo file tramite posta elettronica, oppure salvato su una chiavetta usb, oppure ancora tramite il cloud di GeoGebra.

Se pensi ti sia utile, puoi guardare il videotutorial incorporato alla fine di questo articolo.

Puoi scegliere i colori e il tipo di tratto che vuoi; è però importante che la tua scelta sia fatta in modo da far capire a colpo d’occhio quali sono le coppie lato-altezza.

Una volta terminata la costruzione, fai misurare a GeoGebra gli angoli del tuo triangolo. Muovi i vertici del triangolo e osserva dove vanno a finire le altezze quando il triangolo è acutangolo, ottusangolo o rettangolo. Per “dove vanno a finire” intendo in particolare se sono interne al triangolo, se escono dal triangolo o se coincidono con i lati del triangolo.

Scrivi, usando lo strumento “testo”, le risposte a queste domande:

  1. Le tre altezze di un triangolo si incontrano sempre in uno stesso punto?
  2. In un triangolo acutangolo, dove stanno le altezze? Sono interne, esterne o coincidono con i lati del triangolo?
  3. In un triangolo rettangolo, dove stanno le altezze? Sono interne, esterne o coincidono con i lati del triangolo?
  4. In un triangolo ottusangolo, dove stanno le altezze? Sono interne, esterne o coincidono con i lati del triangolo?

Compiti 2aC 07-11-19

Video sull’atomo

Guarda i seguenti video, scegliendo i sottotitoli che preferisci.

Guardali anche più di una volta, finché riesci, sul quaderno, a rispondere alle seguenti domande:

  1. Chi fu il primo a dimostrare (matematicamente) l’esistenza degli atomi? In che anno ciò avvenne?
  2. Che cos’è il moto browniano?
  3. Che cosa significa etimologicamente “atomo”?
  4. Quali sono le tre particelle subatomiche fondamentali?
  5. Quali particelle subatomiche stanno nel nucleo dell’atomo e quali no?
  6. Che cosa in un atomo determina di che elemento (ossia di che sostanza semplice) si tratta?
  7. Tutti gli atomi di uno stesso elemento (ossia di una stessa sostanza semplice) hanno lo stesso numero di protoni?
  8. Qual è la funzione fondamentale dei neutroni nel nucleo di un atomo?
  9. Due isotopi hanno lo stesso numero di protoni? Hanno lo stesso numero di neutroni?
  10. Quanto grande è un atomo?
  11. Quanto denso è il nucleo di un atomo?

Just How Small is an Atom? – Jonathan Bergmann – TED-Ed

The Nucleus: Crash Course Chemistry #1

Compiti 2ªC 02-10-2019

Esercizi

Gli esercizi assegnati per domani sono sul vostro libro di testo. Inserisco qui le foto delle pagine a cui si trovano, per coloro che non hanno ancora ricevuto il libro.

Buon lavoro!

Dalle mani alle idee

Materiale per il corso “Il laboratorio di matematica: dalle mani alle idee”

Padova, 12 e 14 giugno 2019

Istituto comprensivo “Tartini”, corso per 37 maestre di scuola primaria

La presentazione

Presentazione introduttiva al corso tento a Padova il 12 e il 14 giugno
Titolo: Il laboratorio di matematica: dalle mani alle idee (0 click)
Etichetta: Presentazione introduttiva al corso tento a Padova il 12 e il 14 giugno
Filename: presentazione_pd_2019-def.pdf
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Il laboratorio

Il laboratorio è incominciato con il taglio di tre nastri, che avevo precedentemente preparato.

Un nastro verde, un nastro arancio e un nastro rosso.

Il nastro verde è stato ottenuto da un paio di metri di carta presa da un rotolino di una calcolatrice: le due estremità di questa striscia di carta sono state incollate una sull’altra, senza torsioni (un anello, per intenderci).

Il nastro arancio è stato ottenuto da un paio di metri di carta presa da un rotolino di una calcolatrice: le due estremità di questa striscia di carta sono state incollate una sull’altra, dopo che una di esse aveva subito una mezza torsione (un nastro di Möbius, per intenderci).

Il nastro rosso è stato ottenuto da un paio di metri di carta presa da un rotolino di una calcolatrice: le due estremità di questa striscia di carta sono state incollate una sull’altra, dopo che una di esse aveva subito due mezze torsioni.

Le maestre presenti non mi avevano viste costruire i nastri che, essendo lunghetti, tendevano ad attorcigliarsi su sè stessi: non si notavano differenze se non nel colore.

Ho chiesto a tre volontarie di tagliare questi tre nastri con un taglio parallelo ai bordi della striscia di carta.

Poi in gruppo, le maestre hanno affrontati i problemi seguenti.

Tra un problema e l’altro, abbiamo dedicato del tempo a confrontare le risposte date dai vari gruppi.

Il nastro di Moebius ha una sola faccia: ce ne accorgiamo immaginando di camminarci sopra

Il taglio del nastro

Primo problema per il laboratorio
Titolo: Il taglio del nastro (0 click)
Etichetta: Primo problema per il laboratorio "Dalle mani alle idee"
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I bordi

Secondo problema per il laboratorio
Titolo: I bordi (0 click)
Etichetta: Secondo problema per il laboratorio "Dalle mani alle idee"
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Piega e spiega

Terzo problema per il laboratorio
Titolo: Piega e spiega (0 click)
Etichetta: Terzo problema per il laboratorio "Dalle mani alle idee"
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Il gioco dell’isola

Quarto problema per il laboratorio
Titolo: Il gioco dell'isola (0 click)
Etichetta: Quarto problema per il laboratorio "Dalle mani alle idee"
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Immaginare a occhi chiusi, costruire a occhi aperti

Quinto problema per il laboratorio
Titolo: Immaginare a occhi chiusi, costruire a occhi aperti (0 click)
Etichetta: Quinto problema per il laboratorio "Dalle mani alle idee"
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Esercizi per chi va in terza

Esercizio 1

Ricopia sul quaderno la figura erispondi in forma completa alle domande.

Esercizio 2

Ricopia sul quaderno la figura erispondi in forma completa alle domande.

Esercizio 3

Ricopia sul quaderno la figura erispondi in forma completa alle domande.

Esercizio 4

Ricopia sul quaderno la figura erispondi in forma completa alle domande.

Esercizio 5

Calcola il valore delle seguenti espressioni:

Esercizio 6

Calcola le seguenti radici di frazioni

 

Esercizi per chi va in seconda

Esercizio 1

Copia sul quaderno e risolvi le seguenti espressioni:

Esercizio 2

Copia sul quaderno e risolvi le seguenti espressioni:

Esercizio 3

Con il metodo delle divisioni successive trova il massimo comun divisore tra le seguenti coppie di numeri:

Esercizio 4

Con il metodo della scomposizione in fattori primi, calcola il minino comune multiplo tra le seguenti coppie di numeri:

Esercizio 5

Trascrivi le seguenti frazioni improprie sul quaderno e scrivile come somma di un numero naturale e una frazione propria:

Esercizio 6

Trascrivi le seguenti addizioni sul quaderno e trovane la somma espressa attraverso una frazione impropria.

Racconta: ho imparato che…

Un compito da fare al più presto

Spesso ti dico di non avere fretta di fare i compiti delle vacanze ma, in questo caso, la richiesta che ti faccio va in direzione (quasi) opposta: cerca di trovare il tempo di fare questo compito entro la fine di giugno.

Non ti chiedo di farlo frettolosamente, anzi! Prenditi il tempo che ci vuole, scrivi con calma, rileggi il giorno dopo e aggiungi ciò che ti è venuto in mente nel frattempo, rileggi il giorno dopo ancora e aggiusta quello che ti sembra non troppo chiaro. Puoi far leggere il tuo racconto ad un amico e ascoltare i suoi consigli, se vuoi.

Quando ti sembra che il tuo racconto sia comprensibile e bello, inviamelo per posta elettronica. Se è un problema scriverlo al computer, scrivilo pure su un foglio e mandami una e-mail per dirmi che è pronto: se sarà possibile, troveremo un modo per farmelo avere. Non aspettare la fine dell’estate: prima mi consegni questo compito, meglio è (per me).

Ma che cosa dovresti raccontare?

Scegli un qualcosa che hai imparato grazie ad una delle attività che abbiamo fatto quest’anno nelle ore di matematica (una mia spiegazione, un problema che avete cercato di risolvere in gruppo, un problema che hai cercato di risolvere da solo, una discussione collettiva su un problema, un compito per casa…).

Immagina di dover spiegare che cosa hai imparato e come l’hai imparato a qualcuno che non era presente in classe e che non frequenta la scuola in Italia (un amico che si è trasferito all’estero da piccolo, un amico di penna straniero, un tuo parente che vive all’estero…). Immagina soprattutto di dovergli spiegare non solo che cosa è avvenuto il classe, ma anche che cosa ci siamo detti, quali osservazioni ti hanno convinto che le cose funzionano davvero in un certo modo, perché quella cosa che hai imparato è vera…

Se non ti viene in mente a proposito di che cosa scrivere il tuo racconto, prendi il quaderno di matematica e inizia a sfogliarlo dall’inizio (o dal fondo, se preferisci) finchè trovi qualcosa che ti faccia scattare la voglia di raccontare!