{"id":3781,"date":"2019-03-20T09:16:11","date_gmt":"2019-03-20T08:16:11","guid":{"rendered":"http:\/\/www.sofiasabatti.it\/wordpress\/?p=3781"},"modified":"2019-03-20T09:20:26","modified_gmt":"2019-03-20T08:20:26","slug":"calcolo-del-mcd-attraverso-divisioni-successive","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/www.sofiasabatti.it\/wordpress\/2019\/03\/20\/calcolo-del-mcd-attraverso-divisioni-successive\/","title":{"rendered":"Ricerca del MCD"},"content":{"rendered":"

Ricerca del MCD con il metodo di Euclide delle divisioni successive<\/h1>\n

Cercare il massimo comun divisore (MCD) tra due numeri naturali \u00e8 cercare il pi\u00f9 grande numero naturale che \u00e8 sottomultiplo sia del primo che del secondo numero.
\nFin qui non abbiamo detto nulla rispetto a come fare per trovare il MCD: abbiamo semplicemente ridetto la stessa cosa con parole leggermente diverse, che forse ci possono far capire meglio come sia venuta ad Euclide l’idea di procedere per divisioni successive.<\/p>\n

Immaginiamo di voler preparare due passatoie, ossia due tappeti lunghi e stretti, di una lunghezza prefissata, a partire da dei pezzi rettangolari, tutti uguali tra loro e il pi\u00f9 lunghi possibile.<\/p>\n

Possiamo trovarci in tante situazioni diverse che, come vedremo, possono per\u00f2 essere ricondotte tutte ad un unico “modello”.<\/p>\n

Quando il MCD \u00e8 il pi\u00f9 piccolo dei due numeri<\/h3>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Pu\u00f2 succedere che se prendiamo un pezzo<\/em> lungo esattamente come il tappeto pi\u00f9 corto, questo “ci stia” un numero esatto di volte in quello pi\u00f9 lungo.<\/p>\n

In questo caso baster\u00e0 fare dei pezzi<\/em> tutti uguali al secondo tappeto: il secondo tappeto sar\u00e0 allora formato da un unico pezzo<\/em> e quello lungo da un certo numero di pezzi<\/em> uguali al secondo.<\/p>\n

Con i numeri la situazione \u00e8 analoga.<\/p>\n

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (18 ; 6). Se mi accorgo subito che 18 \u00e8 un multiplo di 6, allora subito posso dire che 
\nMCD (18 ; 6) = 6.
\nSe non mi accorgo (perch\u00e9 magari i numeri sono pi\u00f9 grandi), mi basta provare a fare la divisione tra il pi\u00f9 grande dei due numeri e quello pi\u00f9 piccolo: se il resto della divisione \u00e8 0, significa che il pi\u00f9 piccolo dei due numeri \u00e8 gi\u00e0 il MCD tra i due numeri dati.<\/p>\n

Esempi<\/h4>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Quando basta un ulteriore passettino<\/h3>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Un pezzo<\/em> lungo come il tappeto pi\u00f9 corto, per\u00f2, potrebbe anche non starci un numero esatto di volte in quello pi\u00f9 lungo. In questo caso dobbiamo un po’ ragionare per capire che cosa fare.<\/p>\n

Se siamo fortunati, la parte che avanza al tappeto pi\u00f9 lungo dopo aver accostato tanti pezzi<\/em> lunghi come il tappeto pi\u00f9 corto, ci sta un numero intero di volte nel tappeto pi\u00f9 corto (e quindi anche in quello pi\u00f9 lungo): avremo cos\u00ec trovato quanto cercavamo.<\/p>\n

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (14 ; 6).
\n6 non \u00e8 un divisore di 14: il 6 nel 14 ci sta 2 volte, ma poi ho il resto di 2.
\nSono fortunato perch\u00e8 questo resto (2) divide esattamente il 6 e quindi
\nMCD (14 ; 6) = 2<\/p>\n

Esempi<\/h4>\n

\"\"<\/a> \"\"<\/a><\/p>\n

Un caso particolare<\/h4>\n

Un caso particolare molto semplice \u00e8 quello che si presenta quando il resto della divisione tra il numero pi\u00f9 grande e quello pi\u00f9 piccolo \u00e8 1, ossia quando i due numeri sono uno il successivo dell’altro.<\/p>\n

In questo caso \u00e8 ovvio che il massimo comun divisore tra i due sar\u00e0 proprio 1.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (7 ; 6).
\n6 non \u00e8 un divisore di 7: il 6 nel 7 ci sta 1 volte, ma poi ho il resto di 1.
\nOvviamente questo resto (1) divide esattamente anche il 7 e quindi
\nMCD (7 ; 6) = 1<\/p>\n

Ma senza fare alcun calcolo, se abbiamo capito il senso di quello che stiamo facendo, potremo dire che<\/p>\n

MCD (567 ; 566) = 1<\/p>\n

MCD (45678 ; 45679) = 1<\/p>\n

MCD (123456 ; 123457) = 1<\/p>\n

Quando bisogna armarsi di pazienza<\/h3>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Potrebbe anche succedere che un pezzo<\/em> lungo come il “resto” della divisione tra il tappeto pi\u00f9 lungo e quello pi\u00f9 corto, per\u00f2, non stia un numero esatto di volte in quello pi\u00f9 corto (e quindi nemmeno un quello pi\u00f9 lungo). In questo caso per\u00f2 possiamo continuare a ripetere lo stesso procedimento, fino a quando non troveremo un “resto” che divide esattamente il pezzo<\/em> pi\u00f9 corto fino ad allora considerato: quel pezzo<\/em> sar\u00e0 quello cercato.<\/p>\n

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (16 ; 6).
\n6 non \u00e8 un divisore di 16: il 6 nel 16 ci sta 2 volte, ma poi ho il resto di 4.
\nE 4 non \u00e8 un divisore di 6: il 4 nel 6 ci sta 1 volta, ma poi ho il resto di 2.
\nQuesto resto (2), per\u00f2, divide esattamente il 4, il 6 e il 16 e quindi possiamo dire che
\nMCD (16 ; 6) = 2<\/p>\n

Esempio<\/h4>\n

\"\"<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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