Category Archives: Giochi matematici

Un bel problema, anche se non lo risolvi, ti fa compagnia se ci pensi ogni tanto. (Ennio De Giorgi)

Allenamento n° 6 / 2020

Sesto allenamento in vista dei Campionati

Ecco il sesto allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Cubi e colori

Abbiamo a disposizione sei colori per pitturare le facce di una serie di cubi. In ciascun cubo, ogni faccia deve essere pitturata uniformemente con uno solo dei sei colori e ogni faccia deve essere di un colore diverso da quello delle altre.

Tenendo presente che due cubi sono uguali quando uno può essere ottenuto ruotando l’altro, quanti cubi diversi possono essere pitturati a queste condizioni?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios 4. Problemas e histórias da matemática no público, edições Afrontamento, 1995)

Risposte al quinto allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto cinque risposte al problema “Pesci e pescatori“, tutte corrette: grazie a Giada (seconda D), Gioia (prima A), Ambra (seconda C), Filippo (terza D) e Alvise (prima B)!

Qui trovate l’inizio della soluzione di Ambra:

Ambra ragiona proprio come fanno i matematici. Dice: se Enrico e Alvise pescano lo stesso numero di pesci, chiamo n questo numero che non conosco. Poi so che anche il figlio di Dario pesca dei pesci, ma non so quanti sono, e nemmeno so se sono tanti quanti quelli di Enrico e Alvise, quindi scelgo un’altra lettera per indicare il numero di pesci che pesca: N. Dario so che pesca il triplo dei pesci di suo figlio, quindi 3×N.

Poi fa tutta una serie di prove:

  • Se N fosse 1, Dario e suo figlio insieme avrebbero pescato 4 pesci, quindi Enrico e Alvise insieme avrebbero pescato 35-4=31 pesci. Ma allora avrebbero dovuto pescare 15,5 pesci a testa, il che non è possibile.
  • Se N fosse 2, Dario e suo figlio insieme avrebbero pescato 8 pesci, quindi Enrico e Alvise insieme avrebbero pescato 35-8=27 pesci. Ma allora avrebbero dovuto pescare 13,5 pesci a testa, il che non è possibile.
  • E così via fino al caso in cui N fosse 8: in tutti i casi, la somma dei pesci pescati da Enrico e Alvise è un numero dispari, quindi non è possibile che loro abbiano pescato lo stesso numero di pesci.
  • Infine se N fosse 9, da soli Dario e suo figlio avrebbero pescato 36 pesci, il che non è possibile perché il totale era 35.

Si sarebbe potuti arrivare alla stessa conclusione lavorando un po’ di più con le lettere invece che con i numeri, o meglio… lavorando un po’ di più con i numeri “generici” invece che con i casi particolari. Per i ragazzi dalla terza media in su, dovrebbe essere più facile. Per gli altri forse un po’ meno, ma… provate a seguire il discorso.

Usiamo le stesse lettere di Ambra per rappresentare le stesse cose. Dovrebbe allora succedere che
n+n+N+3×N=35
Ma:

  • n+n è come dire il doppio di n, e il doppio di n è sicuramente pari;
  • N+3×N=4×N è anche questo sicuramente pari;
  • la somma di due numeri pari è ancora un numero pari, quindi non può essere 35.

Quindi, come Ambra, arriviamo a dire che c’è qualcosa che non quadra, c’è qualcosa di impossibile. E allora concludiamo con lei il nostro ragionamento:

Che cosa abbiamo imparato?

Credo che questo problema metta bene in luce alcuni fatti molto importante (parto da 8, perché 7 cose le abbiamo già imparate commentando gli allenamenti prima di questo).

8. Numeri pari e dispari

La somma di due numeri pari, è sempre un numero pari.
Il prodotto di un numero qualsiasi per un numero pari, è sempre un numero pari.

Sono cose banali, che però era importante notare per risolvere questo problema.

9. Numeri naturali e numeri razionali

A volte succede che, quando pensiamo alle cose di scuola, indossiamo dei “paraocchi” mentali e andiamo dritti alla ricerca delle operazioni da fare, senza usare la testa. In questo caso, qualcuno avrebbe potuto tranquillamente dire che Enrico e Alvise pescano 13,5 pesci a testa, senza accorgersi che una affermazione di questo tipo non ha senso, perché quando si conta quanti pesci si sono pescati, si usano solo i numeri naturali. (Mentre, tanto per fare un esempio, se si pesano i pesci pescati, allora ha senso usare i numeri razionali).

Allenamento n° 5 / 2020

Quinto allenamento in vista dei Campionati

Ecco il quinto allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Pesci e pescatori

Enrico e Dario amano pescare. Un giorno vanno a pesca insieme, entrambi accompagnati dal proprio figlio.
Enrico pesca tanti pesci quanti ne pesca suo figlio.
Dario pesca il triplo dei pesci pescati da suo figlio.

In totale hanno pescato 35 pesci.
Quanti pesci ha pescato ciascun pescatore?

Il figlio di Enrico si chiama Alvise.
Come si chiama il figlio di Dario?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios 4. Problemas e histórias da matemática no público, edições Afrontamento, 1995)

Risposte al quarto allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto tre risposte al problema “La corsa delle bandierine“, nessuna delle quali è del tutto corretta (ma ciascuna delle quali contiene qualche buona idea).

Se sei tra coloro che non sono riusciti a risolvere il gioco delle bandierine, non scoraggiarti! Forse ho esagerato con la difficoltà: sarebbe potuto andare bene per qualche categoria più avanzata rispetto a quelle cui appartengono gli studenti della scuola media. Ho voluto metterlo perché, a mio parere, se la soluzione è difficile da trovare, è anche facile da capire (quando qualcuno te la mostra) e, capìta una volta, la si può usare in tante altre situazioni.

Vediamo un po’ di spiegare come si può fare.

Tutte le risposte che ho ricevuto propongono (o come soluzione, o come tentativo) il considerare di mettere le bandierine nel punto medio dei lati del campo, così:

Applichiamo ora una serie di “riflessioni successive” al rettangolo ABCD e ai vari tratti di percorso in essi segnati, così:

Sei d’accordo sul fatto che la lunghezza del percorso PM+MN+NO+OA è esattamente uguale alla lunghezza del percorso PM+MN’+N’O”+O”A”’?
Se non sei d’accordo, guarda meglio e rifletti!
Ecco, adesso probabilmente sarai d’accordo!

Prova ora a confrontare il percorso rosso (il segmento PA”’) con il percorso a zig zag che abbiamo visto prima.

Sei d’accordo sul fatto che la lunghezza del percorso PA”’ è minore di quella del percorso PM+MN’+N’O”+O”A”’?
Se non sei d’accordo, guarda meglio e rifletti!
Ti chiedo di più: sei d’accordo sul fatto che il percorso rosso è la via più breve per andare da P ad A”’?
Credo che tu non abbia grossi dubbi: lo sai da quando eri piccolo che il percorso più corto per andare da un punto ad un altro è il segmento di retta che li congiunge!
Il problema è che noi non vogliamo andare da P ad A”’, ma da P ad A, passando per gli altri lati del campo.
Proviamo a fare a ritroso lo stesso procedimento che abbiamo fatto prima con i segmenti PM, MN, NO ed OA.

Sei d’accordo sul fatto che la lunghezza del percorso PA”’=PQ+QR’+R’S”+S”A”’ è esattamente uguale a quella del percorso PQ+QR+RS+SA?
E sei d’accordo sul fatto che se PA”’ è la via più breve per andare da P ad A”’ allora il percorso PQ+QR+RS+SA è quello più breve tra tutti quelli che ci permettono di andare da P ad A toccando prima gli altri lati del campo?

Che cosa abbiamo imparato?

Credo che questo problema metta bene in luce un fatto molto importante (parto da 7, perché 6 cose le abbiamo già imparate commentando i primi due allenamenti).

7. Se non puoi andare dritto, trova un modo di raddrizzare il tutto!

Per risolvere questo problema (ed altri simili: tipicamente molti problemi che riguardano il tavolo da biliardo) di fatto occorre sapere solo due cose: che la via più breve per andare da un punto a un altro è il segmento di retta, e che le isometrie (in questo caso la riflessione, ma in altri casi potrebbe essere la rotazione, o la traslazione, o la glissoriflessione) non cambiano le distanze.

Non ci sono altre cose da sapere. Serve però trovare un modo utile per usare queste due informazioni al nostro scopo!

 

Allenamento n° 4 / 2020

Quarto allenamento in vista dei Campionati

Ecco il quarto allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

La corsa delle bandierine

La corsa delle bandierine si svolge in un campo rettangolare di 80 m per 50 m.

Ogni concorrente corre da solo, partendo dal punto medio del lato AB con quattro bandierine in mano. Il suo obiettivo è piantare una bandierina su ciascuno dei lati AD, DC e CB, in questo ordine, e l’ultima bandierina sul vertice A.

Dove dovrebbe attaccare le bandierine un concorrente per rendere il proprio percorso più breve possibile?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios 4. Problemas e histórias da matemática no público, edições Afrontamento, 1995)

Risposte al terzo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto quattro risposte corrette al problema “Send more money“, questa volta da tre ragazze e un ragazzo, tutti di prima e seconda media.

Le lettere del messaggio cifrato corrispondono ai numeri in questo modo:
S=9
E=5
N=6
D=7
M=1
O=0
R=8
Y=2
Quindi, per accontentare harry, Elisabeth dovrà madargli 10 652 dollari canadesi; l’auto usata che Harry vuole comprarsi costa 9 567 dollari canadesi e il treno di gomme invernali costa 1085.

Solo una ragazza mi ha spiegato per benino come ha fatto a trovare la risposta e il suo lavoro mette in evidenza alcuni tentativi, ma anche tanto ragionamento.

Ad esempio: la lettera M non può che corrispondere al numero 1 perchè la somma di due numeri (ad una cifra) non può essere maggiore o uguale a 20 (ossia deve essere minore o uguale a 19 e quindi, se è un numero di due cifre, la cifra delle decine è sicuramente 1): questo implica che quando faccio S+M (ed eventualmente ci aggiungo un riporto che al massimo è 1), essendo S e M al massimo 8 e 9 comunque arrivo ad un numero che come cifra delle decine ha 1.

Ma adesso, S+1 (più un eventuale riporto al massimo di 1) deve dare un numero che come cifra delle decine ha 1 e come cifra delle unità ha O.
Se S fosse 9 e ci fosse il riporto di 1, verrebbe O=1 il che non può essere perchè già M è 1.
Se S fosse 9, e non ci fosse riporto, verrebbe O=0.
Se S fosse 8 e ci fosse il riporto di 1, verrebbe O=0.
Se S fosse 8 e non ci fosse il riporto, non funziona perché la somma sarebbe di una cifra sola.
Quindi siamo certi che O=0.

I ragionamenti di Ambra non si fermano qui, ma… forse è meglio se ciascuno di voi prova ad andare avanti da solo, non pensate?

Che cosa abbiamo imparato?

Giada, Gioia, Ambra e Christian, che sono riusciti a risolvere questo problema, forse non sono riusciti ad imparare niente di nuovo. Chi ci ha provato e non ce l’ha fatta, potrebbe trarre ispirazione dalla seguente riflessione (parto da 6, perché 5 cose le abbiamo già imparate commentando i primi due allenamenti).

6. Tentativi e ragionamenti devono andare a braccetto

Molto spesso siamo convinti che per risolvere un problema di matematica si debba cercare l’operazione da fare, farla e dare la risposta.
Spesso non è così: spesso bisogna provare, fare dei tentativi, verificare se funzionano.
Ora, nella maggior parte dei casi – fortunatamente – abbiamo la possibilità di accompagnare le nostre prove con dei ragionamenti, che ci consentono di limitare il numero di tentativi da fare. Ragionare e provare non sono due strade alternative, ma sono due modi di agire che possono l’uno accompagnare l’altro di continuo.

Come dire: non dobbiamo avere paura di fare dei tentativi, ma possiamo anche cercare di capire sempre se un tentativo che ci viene in mente può essere escluso a priori con qualche ragionamento.

 

Allenamento n° 3 / 2020

Terzo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il terzo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Send more money

Harry, ormai adulto, sposato e con figli, è andato a vivere in Canada, lontano dalla sua famiglia di origine.
Sua nonna Elizabeth è molto ricca e lui sa, come tutti i nipoti, di poter contare su di lei, quando ha bisogno di qualcosa.
Il problema è che Harry non può mostrare in pubblico di aver ancora bisogno della “mancetta” della nonna, e soprattutto la nonna non può mostrare in pubblico di accondiscendere alle richieste del nipote. Sono quindi d’accordo di usare un linguaggio in codice, per mandarsi messaggi cifrati, quando Harry ha bisogno di soldi. La regola di questo messaggio in codice è questa: ogni lettera rappresenta una cifra; a lettera uguale corrisponde cifra uguale e a lettere diverse corrispondono cifre diverse.
Harry decide di comprarsi un’automobile usata, ma in ottime condizioni. Ha bisogno, visto il clima rigido del Canada, anche di un treno di gomme invernali.
Ricevuto il conto dal concessionario, lo manda alla nonna, usando il loro linguaggio in codice. Peccato che comunque si capisca che c’è qualcuno in famiglia che ha bisogno di soldi…
Ad ogni modo, quanti dollari canadesi dovrà mandare Elisabeth a Harry per accontentarlo? Quanto costa l’auto usata che Harry vuole comprarsi? Quanto il treno di gomme invernali?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

Risposte al secondo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto tre risposte corrette al problema “Il disco della libertà“, da tre ragazze. Ragazzi, dove siete?

Siccome io sono decisamente pigra, e siccome loro hanno fatto decisamente un ottimo lavoro, copio-incollo qui di seguito le loro soluzioni:

“Ecco come sono andate le cose: il primo carcerato ragiona sulle affermazioni degli altri due e capisce che il terzo carcerato vede sulla sua schiena (quella del primo) e su quella del secondo o due dischi gialli o un disco giallo e uno nero. Il terzo carcerato quindi non potrà mai rispondere con sicurezza, perché il suo disco potrebbe essere di entrambi i colori. Il secondo carcerato, invece, vede sulla schiena del primo un disco giallo e capisce dalla frase del terzo carcerato che sulla sua schiena ( quella del secondo) e su quella del primo ci sono o due dischi gialli o un disco giallo e uno nero, ma visto che vede il disco di colore giallo attaccato alla schiena del primo carcerato, non riuscirà mai a capire se sulla sua schiena c’è un disco giallo o nero. Il primo carcerato quindi, intende subito che sulla sua schiena c’è un disco giallo perché dalle affermazioni degli altri due si capisce che tra i carcerati c’è almeno un disco giallo e se non ne sono sicuri, significa che il disco giallo non appartiene né al secondo né al terzo carcerato. Quindi il primo carcerato riesce a liberarsi perché, grazie alle affermazioni degli altri due, capisce che sulla sua schiena c’è un disco giallo.”
(Giada, seconda D)

“Ecco come secondo me sono andate le cose: Il terzo carcerato ha detto per primo che non poteva indovinare di che colore fosse il suo cartello e così facendo ha fatto capire che gli altri 2 non potevano avere entrambi un cartello nero (unico caso in cui il terzo carcerato avrebbe potuto sapere con certezza il colore del suo cartello cioè in quel caso giallo). Dopo il terzo anche il secondo carcerato ha detto che non poteva indovinare di che colore era il suo cartello. A questo punto il primo carcerato ha capito che il suo cartello non poteva che essere giallo perché se fosse stato nero, in base a quello che aveva fatto capire il terzo carcerato, il secondo carcerato avrebbe indovinato di che colore era il suo cartello che in quel caso sarebbe stato giallo.”
(Gioia, prima A)

(Ambra, seconda C)

Tutto chiaro, no?

Che cosa abbiamo imparato?

Giada, Gioia e Ambra, che sono riuscite a risolvere questo problema, forse non sono riuscite ad imparare niente di nuovo. Chi ci ha provato e non ce l’ha fatta, potrebbe trarre ispirazione dalle seguenti riflessioni (parto da 4, perché 3 cose le abbiamo già imparate quando abbiamo commentato qui il primo allenamento).

4. Esistono giochi matematici senza numeri e senza calcoli

Una delle obiezioni che spesso mi sento fare quando propongo a tutti di partecipare ai giochi matematici è questa: “Ma io non sono veloce a fare i calcoli!”. Orbene, esistono gare matematica anche di velocità nel calcolo (ad esempio il Campionato italiano di calcolo mentale, che quest’anno si svolgerà a Udine il 21 marzo 2020), ma sono un’altra cosa. Non che un po’ di confidenza con i numeri non serva, ma ci sono tanti giochi in cui non è affatto indispensabile.

5. Qualche volta può essere utile ragionare “per assurdo”, ossia fare finta

Se avete letto le spiegazioni delle vostre compagne, vi sarete accorti che hanno ragionato parecchio.
Partiamo dal terzo carcerato, che dice di non poter sapere di che colore è il disco sulla sua schiena.
Com’è che Giada, Gioia e Ambra da qui capiscono che sulla schiena del primo e del secondo ci sono o due dischi gialli oppure un disco giallo e uno nero?
Perché se fossero due dischi neri (essendoci all’inizio solamente due dischi neri disponibili), il terzo avrebbe potuto capire, vedendoli, che sulla sua schiena c’era un disco giallo.
Questo è il tipico ragionamento che i matematici chiamano “per assurdo”: facciamo finta per un attimo che succeda una cosa (in questo caso: che i dischi del primo e del secondo siano entrambi neri); ti mostro che allora succederebbe una cosa che in realtà non succede, non può succedere, o è assurdo che succeda (in questo caso: il terzo avrebbe capito che il suo disco era giallo).
Qualche volta è difficile dimostrare direttamente che accade una cosa ed è più facile dimostrare che è impossibile il suo contrario!

Allenamento n° 2 / 2020

Secondo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il secondo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Il disco della libertà

A tre carcerati vengono mostrati cinque dischi: tre gialli e due neri.

I tre carcerati sono disposti in “fila indiana”, cosìcché il terzo può vedere le schiene degli altri due, il secondo può vedere la schiena del primo e il primo non vede la schiena di nessuno.

Tre dischi vengono attaccati sulle schiene dei carcerati e i rimanenti due vengono nascosti dalla loro vista.

Le guardie promettono di liberare il carcerato che più velocemente degli altri indovina il colore del disco attaccato alla propria schiena. Il primo carcerato, che non vede nulla, sta per farsi prendere dalla disperazione, quando improvvisamente il terzo carcerato dice: “Io non posso sapere di che colore è il disco sulla mia schiena”.
A quel punto, il secondo carcerato dice: “Nemmeno io.”
Sentite le affermazioni degli altri due, il primo carcerato, esultante, dice: “Sulla mia schiena è attaccato un disco giallo!”. E viene liberato.

Come sono andate le cose?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

Risposte al primo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto sette risposte al problema “Le lancette dell’orologio“, il primo allenamento on-line di quest’anno: un po’ pochine visto che già in 17 mi avete chiesto di iscrivervi ai Campionati! Riuscite a coinvolgere qualche altro giocatore?
Vi dico subito che tutte le risposte che ho ricevuto sono diverse dalla risposta che l’autore del gioco ha previsto, e che anche io condivido.

Una ragazza ha confuso “minuti” con “secondi”, probabilmente, e ha detto che una lancetta supera l’altra 719 volte tra mezzogiorno e mezzanotte. Avrebbe potuto leggere con più attenzione il testo, ma sicuramente, per la pazienza dimostrata, merita un encomio (che non è una brutta cosa: se non sapete cos’è, andate a cercare sul dizionario) .

Cinque di voi hanno risposto che la lancetta dei minuti supera quella delle ore 12 volte tra mezzogiorno e mezzanotte. In un certo senso avete ragione: le due lancette sono sovrapposte 12 volte in questo lasso di tempo.

Nelle immagini qui sopra, la lancetta dei secondi non è al posto giusto e gli orari indicati sono arrotondati ai minuti. Arrotondando ai secondi gli orari in cui le lancette si sovrappongono diventano le 12:00:00, le 13:05:27, le 14:10:55, le 15:16:22, le 16:21:49, le 17:27:16, le 06:32:44, le 19:38:11, le 20:43:38, le 21:49:05, le 22:54:33 e infine le 24:00:00 (ma sono comunque, tranne che nel primo e nell’ultimo caso, degli arrotondamenti, quindi… poco importa stare a calcolare anche le frazioni di secondo).

La questione però è che il gioco non chiedeva quante volte le lancette sono sovrapposte, ma quante volte avviene il sorpasso. E il sorpasso prevede che prima la lancetta dei minuti stia “dietro” quella delle ore, poi la raggiunga e subito dopo stia “davanti”. Ora: se inizio a guardare l’orologio a mezzogiorno, non vedo un sorpasso, perché non vedo il “prima”; e se smetto di guardare l’orologio a mezzanotte, non vedo un sorpasso, perché non vedo il “dopo”.

Immagino che l’unico di voi che ha risposto che la lancetta dei minuti supera 11 volte quella delle ore abbia escluso o mezzogiorno o mezzanotte dal conteggio, non accorgendosi che l’altra situazione era analoga.

Ad ogni modo, direi che come riscaldamento non è stato niente male: bravi!

Che cosa abbiamo imparato?

Conoscere la risposta a questo quesito difficilmente ci basterà, se non ne traiamo qualche insegnamento più “generale”, nel senso che difficilmente troveremo un quesito proprio uguale (o quasi) a questo.

Provo a scrivere qui sotto le cose che a me sono venute in mente leggendo le vostre risposte (e quelle di alcune persone adulte alle quali ho proposto questo stesso gioco).

1. Non è vero che i giochi debbano essere per forza complicati!

Ho l’impressione che chi ha risposto 719, e quindi ha letto “minuti” e ha inteso “secondi”, non abbia semplicemente sbagliato a leggere, ma (inconsciamente) abbia pensato che contare i sorpassi della lancetta dei minuti fosse troppo banale come richiesta per un gioco matematico!
Spesso i giochi sono meno complicati di quello che pensiamo, soprattutto i primi quesiti nei Campionati internazionali sono proprio semplici: non complicatevi la vita!

2. Un testo verbale è sempre un po’ ambiguo: riflettiamo sui significati delle parole!

Gli autori dei testi dei problemi di matematica spesso devono scegliere tra il non dare nulla per scontato, formulando testi lunghi e pesanti da leggere, e lo scrivere testi un po’ più leggeri, dove però alcune cose sono lasciate all’interpretazione del lettore. In questo caso, per esempio, non si dice se le lancette dell’orologio si muovono a scatti oppure di un movimento continuo (ma forse questo non è importante per trovare la risposta al problema). Inoltre non si spiega che cosa si intende per “superare”: anche alcuni professori di matematica che hanno fatto questo gioco hanno risposto, come la maggior parte di voi, “12 volte”. Purtroppo, durante le competizioni non abbiamo a disposizione il vocabolario di italiano (che, comunque, non sempre riuscirebbe a dirimere la questione fino in fondo).

3. I “casi limite” spesso sono casi particolari.

Spesso si tratta di studiare una situazione entro dei limiti definiti. Non sempre le situazioni “al limite” sono diverse da quella generale, ma qualche volta (come in questo caso) sì: meglio starci particolarmente attenti!

Allenamento n° 1 / 2020

Primo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il primo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Le lancette dell’orologio

Da mezzogiorno a mezzanotte (dello stesso giorno), quante volte la lancetta dei minuti supera quella delle ore?

(da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

 

 

Allenamento n° 5 / 2019

Risposte al quarto allenamento

Il quarto allenamento ha ricevuto risposta esatta da parte di Emanuele Giada, Morena Merkohitaj e Chiara Cattelan: bravi!

Il 16 marzo si avvicina, quindi proporrei di intensificare i giochi; pubblicheremo il sesto già mercoledì 6 marzo: non perdetevelo!

Quinto allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”. Ma soprattutto, non pensiate che per trovare la soluzione a questo quesito si debbano conoscere chissà quali formule: un po’ di spirito di osservazione è più che sufficiente!

Esagoni

I due esagoni in figura sono regolari e ciascuno di essi ha area 6. Quanto misura l’area dell’intero rettangolo?Se l'area di ciascun rettangolo è 6, quanto misura l'area del rettangolo? Da un puzzle di Catriona Shearer

Allenamento n° 4 / 2019

Risposte al terzo allenamento

Il terzo allenamento ha ricevuto qualche risposta in più rispetto ai precedenti; quelle esatte, per ora, sono le soluzioni date da Tommaso Seno, Emanuele Giada, Morena Merkohitaj e Chiara Cattelan: bravi!
Il 16 marzo si avvicina, quindi non c’è tempo per le chiacchiere, ma solo per il prossimo gioco: buon divertimento!

Quarto allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”…

Un quadrato vagante…

Il diametro della circonferenza di centro A misura 10 cm.

Sapendo che ABCD è un quadrato, sai dire qual è l’area del quadrato colorato in viola, le cui diagonali si incontrano nel punto A?

Un quadrato ha il proprio centro coincidente con quello di una circonferenza e sembra vagare dentro di essa...

Allenamento n° 3 / 2019

Risposte al secondo allenamento

Anche al secondo allenamento hanno risposto in pochi. Solo Chiara Cattelan ha risposto in maniera corretta, il che non è un problema: era parecchio tosto! Grazie anche a Morena (che ha trovato 3 rombi con le caratteristiche richieste), Emanuele (che ne ha trovati due) e Maria (che ne ha trovato uno). A scuola proverò a darvi qualche suggerimento per aiutarvi a cercare anche gli altri! 
Ma adesso è arrivato il momento del terzo gioco!

Terzo allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”…

Grattacieli

Un quartiere della città di New York è stato rappresentato con una griglia 4×4.
Griglia viota 4x4 per il gioco dei grattacieli
Ogni casella della griglia contiene un grattacielo di 10, 20, 30 o 40 piani. I grattacieli sono simboleggiati da un numero (corrispondente ai suoi piani) scritto nella casellina in cui esso si trova.
Ad esempio, questo potrebbe essere un quartiere con i grattacieli posizionati:
Esempio di grattacieli distribuiti in una griglia 4x4
Come potete notare, i grattacieli in una stessa riga sono sempre tutti di taglia differente; ad esempio:
riga di grattacieli (esempio per un gioco matematico)
Anche i grattacieli in una stessa colonna sono sempre tutti di taglia differente:
colonna di grattacieli (esempio per un gioco matematico)
Ai bordi della griglia vengono forniti alcuni indizi; ogni indizio rappresenta il numero di grattacieli visibili sulla griglia corrispondente da un osservatore posto nella posizione in cui si trova l’informazione.
Vediamo questo esempio:
Riga di una griglia del gioco dei grattacieli completa con indizi
Un osservatore posto a sinistra della riga vedrà tre grattacieli: quello di 10 piani, quello di 20 piani e quello di 40 piani (mentre quello di 30 piani è nascosto alla vista di questo osservatore dal grattacielo di 40 piani, più alto).
Un osservatore posto a destra della riga vedrà 2 grattacieli: quello di 30 piani e quallo di 40 piani (gli altri due sono nascosti alla vista di questo osservatore).

Ti viene fornita una griglia vuota: tu devi trovare l’altezza dei 16 grattacieli della griglia, tenendo presenti le regole fin qui presentate e gli indizi che ti vengono forniti sul bordo della griglia.

Attenzione: la griglia qui sotto è stata corretta oggi, lunedì 18 febbraio 2019 (modificata rispetto a quella che avevo caricato sabato 16 febbraio 2019), perché mi è stato segnalato un errore. Grazie, Morena!

Gioco dei grattacieli (facile): griglia da completare (corretta)

Buon divertimento!

Allenamento n° 2 / 2019

Risposte al primo allenamento

Poche ma buone, come si suol dire, le risposte che ho ricevuto al gioco del primo allenamento: hanno risposto correttamente Emanuele Giada (della classe prima D), Chiara Cattelan (della classe terza B) e Morena Merkohitaj.
Ora non c’è tempo da perdere: ecco il secondo gioco!

Secondo allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”…

Rombi

segmenti lunghi 5 quadrettiSe non lo sai, ti dico io che i segmenti che puoi disegnare, su carta a quadretti, che abbiano gli estremi negli incroci della quadrettatura e che siano lunghi 5 quadretti sono essenzialmente di due tipi:

  • quelli che seguono le linee della quadrettatura
  • quelli che sono ipotenusa di un triangolo rettangolo con un cateto lungo esattamente 3 quadretti e l’altro cateto lungo esattamente 4 quadretti.

Ciò premesso: disegna – su carta a quadretti – tutti i possibili rombi, diversi tra loro, che abbiano i vertici negli incroci della quadrettatura e i lati lunghi 5 quadretti (dove per rombo si intende un qualsiasi quadrilatero con i quattro lati uguali tra loro).

 

Allenamento n° 1 / 2019

Primo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il primo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Somme

Scrivi in ciascuno dei dischi della figura uno dei numeri interi da 1 a 9. Il numero che vedi già scritto all’interno di ognuno degli otto piccoli “triangoli” è la somma dei tre numeri da scrivere nei dischi posti nei suoi vertici.

N.B. Lo schema qui sotto non è interattivo: copiatelo su un foglietto e poi invia la tua soluzione, o fotografando il foglietto, o trovando un modo per spiegare dove ai messo i numeri. Ce la puoi fare!

schema in cui inserire dei numeri, date le loro somme

 

Allenamento n° 5 / 2018

Quinto allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il quinto allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Il gioco è tratto dal secondo numero della rivista PRISMA Matematica, giochi, idee sul mondo.

Una volta su tre

Carla mente una volta ogni tre frasi; le altre volte dice la vrità (dopo aver mentito, dice due volte la verità, e poi mente di nuovo).

Può cominciare mentendo oppure dicendo la verità una sola volta o due volte prima di mentire.

Adesso carla pensa a un numero intero naturale di due cifre e successivamente pronuncia le seguenti frasi:

  • “Una delle cifre del numero è 2”;
  • “Il numero è più grande di 57”;
  • “Il numero è pari”;
  • “Il numero è più piccolo di 31”;
  • “Il numero è multiplo di 6”;
  • “Una delle cifre del numero è 4”.

Qual è il numero pensato da Carla?

Allenamento n° 4 / 2018

Quarto allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il quarto allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Il gioco è tratto dal secondo numero della rivista PRISMA Matematica, giochi, idee sul mondo.

I numeri porta fortuna

Due numeri interi positivi conscutivi sono tali che la somma delle cifre di ognuno di loro è un multiplo di 13.

Qual è il più grande di questi numeri, sapendo che è più piccolo di 55555?

Allenamento n° 3 / 2018

Terzo allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il terzo allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Il gioco è tratto dal secondo numero della rivista PRISMA Matematica, giochi, idee sul mondo.

Taglia quadrati

Dovete dividere una scacchiera 20 x 18 (con tutte le caselle quadrate uguali tra loro) in vari quadrati, di taglia qualsiasi, tagliandola lungo le linee della qua quadrettatura, in modo che il numero dei quadrati sia il più piccolo possibile.

Quale sarà questo numero?

Allenamento n° 2 / 2018

Secondo allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il secondo allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Tutti in fila!

Riesci a collocare 10 punti su 5 file con 4 punti su ogni fila?

E 12 punti su 6 file con 4 punti su ogni fila?

E 25 punti su 12 file con 5 punti per ogni fila?

Allenamento n° 1 / 2018

Primo allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il primo allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

64 o 65? Questo è il dilemma!

I poligoni che formano questo rettangolo e questo quadrato sono a due a due identici: sia il rettangolo che il quadrato sono formati da un trapezio giallo, un trapezio verde, un triangolo rosso e un triangolo blu.

Eppure (se prendiamo come unità di misura l’area di un quadratino) il rettangolo ha area 13×5=65 mentre il quadrato ha area 8×8=64.

Dove sta il trucco? O, se preferisci: dove sta l’errore?

Un rettangolo 5x13 e un quadrato 8x8 che paiono equiscomponibili. Come è possibile?

allenamento 18 / 2017 – Trasformazione

Diciottesimo allenamento

Innanzitutto complimenti agli aspiranti campioni che hanno già risolto il diciassettesimo quesito: Riccardo Falcier (classe 1a A), Pietro Cazzago (classe 1a D), Marco Cinquegrani (classe 2a C), Chiara Olivio (classe 2a C), Andrea Sartori (classe 2a C), Ambra Zottino (classe 2a C), Aurora Volpato (classe 3a A).

Oggi vi propongo un gioco da 13 punti. Sarà l’ultimo, per quest’anno, visto che domani ci aspetta la semifinale dei campionati.

Buon divertimento a tutti!

Dai Campionati internazionali di giochi matematici: trasformazione (Parigi, prima giornata della finalissima internazionale del 2002)

Nina ha scomposto un quadrato in pezzi composti rispettivamente da 1, 3, 5, 7, 9 e 11 quadratini uguali, come in figura.

Poi, ricomponendo tali pezzi (e se necessario rivoltandoli) ha composto una bella “piramide”.

Mostrate che voi siete capaci di fare lo stesso, disegnando i pezzi che compongono la “piramide”.

Aspetto le vostre soluzioni entro le ore 23:59 del 18 marzo 2017.
Speditemele per posta elettronica, o consegnatemele a mano a scuola; non inviate soluzioni nei commenti qui sotto, altrimenti chi vede il vostro commento si rovina il gusto di giocare.
Usando i commenti potete, invece, farmi domande o chiedere spiegazioni!

“Una grande scoperta risolve un grande problema, ma c’è una briciola di scoperta nella soluzione di qualsiasi problema. Il tuo problema può essere semplice, ma se mette alla prova la tua curiosità e mette in gioco le tue capacità di invenzione, e se tu lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi provare la tensione e il trionfo della scoperta. Queste esperienze possono creare un gusto per il lavoro intellettuale e lasciare la loro impronta sulla mente e sul carattere per tutta la vita.”
(George Polya)

allenamento 17 / 2017 – L’angolo misterioso

Diciassettesimo allenamento

Innanzitutto complimenti agli aspiranti campioni che hanno già risolto il sedicesimo quesito: Riccardo Falcier (classe 1a A), Chiara Gabana (classe 1a D), Pietro Cazzago (classe 1a D), Marco Cinquegrani (classe 2a C), Aurora Volpato (classe 3a A).

E’ succeso un paio di volte che io mi fossi dimenticata di scrivere il nome di una persona che aveva risolto correttamente il gioco precedente: grazie di avermelo fatto notare (e vi prego di farmelo notare se capitasse di nuovo), così posso correggere sia qui sul blog sia eventualmente sul foglio dove mi sto annotando i vostri punteggi.

Anche oggi vi propongo un gioco da 12 punti. Sarà il penultimo, prima della semifinale dei Campionati Internazionali. Buon divertimento!

Dai Campionati internazionali di giochi matematici: l’angolo misterioso (Parigi, seconda giornata della finalissima internazionale del 2002)

Mattia si trova in un punto M all’interno di un giardino triangolare ABC.

Egli è posto esattamente alla stessa distanza dai tre lati AB, BC e CA del giardino e vede il lato BC sotto un angolo che misura 117°.

Qual è la misura in gradi dell’angolo con vertice in A?

Se necessario, si potrà approssimare la misura ai gradi scegliendo l’approssimazione più vicina al risultato esatto.

Aspetto le vostre soluzioni entro le ore 23:59 del 16 marzo 2017.
Speditemele per posta elettronica, o consegnatemele a mano a scuola; non inviate soluzioni nei commenti qui sotto, altrimenti chi vede il vostro commento si rovina il gusto di giocare.
Usando i commenti potete, invece, farmi domande o chiedere spiegazioni!

“Una grande scoperta risolve un grande problema, ma c’è una briciola di scoperta nella soluzione di qualsiasi problema. Il tuo problema può essere semplice, ma se mette alla prova la tua curiosità e mette in gioco le tue capacità di invenzione, e se tu lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi provare la tensione e il trionfo della scoperta. Queste esperienze possono creare un gusto per il lavoro intellettuale e lasciare la loro impronta sulla mente e sul carattere per tutta la vita.”
(George Polya)

allenamento 16 / 2017 – Nascondete questo disco

Sedicesimo allenamento

Innanzitutto complimenti agli aspiranti campioni che hanno già risolto il quindicesimo quesito: Riccardo Falcier (classe 1a A), Alessandro Macarie (classe 1a C), Pietro Cazzago (classe 1a D), Chiara Gabana (classe 1a D), Laura Fronte (classe 2a A), Anna Ceroni (classe 2a C), Marco Cinquegrani (classe 2a C), Ilenia Defina (classe 2a C), Chiara Olivio (classe 2a C), Andrea Sartori (classe 2a C), Ambra Zottino (classe 2a C), Aurora Volpato (classe 3a A), Emma Gabana (classe 3a C).

Entriamo in una settimana molto particolare: domani sarà il Pi Greco Day 2017, che festeggeremo con la sfida on-line organizzata dalla piattaforma redooc.com, e sabato sarà il giorno della semifinale: in bocca al lupo a tutti!

Per il momento, continuiamo gli allenamenti con un gioco da 12 punti. Buon divertimento!

Dai Campionati internazionali di giochi matematici: nascondete questo disco (Parigi, 31 agosto 2001)

Quanti quadrati di 2 cm di lato si devono utilizzare al minimo per essere certi di ricoprire completamente un disco di 5 cm di raggio?

Aspetto le vostre soluzioni entro le ore 23:59 del 14 marzo 2017.
Speditemele per posta elettronica, o consegnatemele a mano a scuola; non inviate soluzioni nei commenti qui sotto, altrimenti chi vede il vostro commento si rovina il gusto di giocare.
Usando i commenti potete, invece, farmi domande o chiedere spiegazioni!

“Una grande scoperta risolve un grande problema, ma c’è una briciola di scoperta nella soluzione di qualsiasi problema. Il tuo problema può essere semplice, ma se mette alla prova la tua curiosità e mette in gioco le tue capacità di invenzione, e se tu lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi provare la tensione e il trionfo della scoperta. Queste esperienze possono creare un gusto per il lavoro intellettuale e lasciare la loro impronta sulla mente e sul carattere per tutta la vita.”
(George Polya)

allenamento 15 / 2017 – Il numero del secolo

Quindicesimo allenamento

Innanzitutto complimenti agli aspiranti campioni che hanno già risolto (trovando chi tutte, chi almeno una soluzione) il quattordicesimo quesitoBeatrice Da Lio (classe 1a A), Riccardo Falcier (classe 1a A), Pietro Cazzago (classe 1a D), Gabana Chiara (classe 1a D), Anastasia Giraldo (classe 1a D), Laura Fronte (classe 2a A), Marco Cinquegrani (classe 2a C), Chiara Olivio (classe 2a C), Andrea Sartori (classe 2a C), Ambra Zottino (classe 2a C), Andrea Dolfin (classe 3a A), Aurora Volpato (classe 3a A), Beatrice Bolognato (classe 3a C).

Anche oggi vi propongo un gioco da 11 punti.
E, a chi ha partecipato fin d’ora, spedirò un invito per martedì 14 marzo, Pi Greco Day 2017. Alcuni di voi hanno già ricevuto un invito scritto venerdì, a scuola; per tutti, comunque, occhio alla posta elettronica!

Dai Campionati internazionali di giochi matematici: il numero del secolo (Parigi, prima giornata della finalissima internazionale 2002)

Trovate sette numeri interi positivi consecutivi tali che le somme dei tre numeri posti

  • sul cerchio interno,
  • sul cerchio esterno,
  • su ognuno dei tre raggi indicati

siano tutte uguali a 21.

Aspetto le vostre soluzioni entro le ore 23:59 del 12 marzo 2017.
Speditemele per posta elettronica, o consegnatemele a mano a scuola; non inviate soluzioni nei commenti qui sotto, altrimenti chi vede il vostro commento si rovina il gusto di giocare.
Usando i commenti potete, invece, farmi domande o chiedere spiegazioni!

“Una grande scoperta risolve un grande problema, ma c’è una briciola di scoperta nella soluzione di qualsiasi problema. Il tuo problema può essere semplice, ma se mette alla prova la tua curiosità e mette in gioco le tue capacità di invenzione, e se tu lo risolvi con i tuoi mezzi, puoi provare la tensione e il trionfo della scoperta. Queste esperienze possono creare un gusto per il lavoro intellettuale e lasciare la loro impronta sulla mente e sul carattere per tutta la vita.”
(George Polya)