Category Archives: Laboratori

Sbagliando si impara

Se non fai errori, stai lavorando su problemi che non sono abbastanza difficili. E questo è un grosso errore.
(Frank Wikzek)

Lunedì 27 febbraio 2018, in terza C [1], abbiamo raccolto le fila di un lungo lavoro fatto in classe nelle scorse settimane. Ogni alunno aveva costruito, a partire da sviluppi piani stampati da me su cartoncini, una dozzina di poliedri. In piccoli gruppi, in classe, avevano dovuto contare, per ciascuno dei loro poliedri, il numero dei suoi spigoli, dei suoi vertici e delle sue facce. Tutti questi numeri erano stati inseriti in una tabella che i ragazzi avevano dovuto analizzare per vedere se riuscivano a trovare qualche regolarità, in particolare se riuscivano a trovare una relazione valida per tutti i poliedri analizzati che legasse S (il numero degli spigoli), V (il numero dei vertici) e F (il numero delle facce).

Raccogliere le fila ha significato constatare che solo [2] una alunna (Anna) aveva scoperto qualcosa, accorgendosi che per ciascuno dei poliedri i cui dati avevamo inserito in tabella accadeva che V-S+F=2.

Dapprima, malfidati come abbiamo imparato ad essere, abbiamo verificato che in tutti i casi da noi studiati (una ventina in tutto) questa relazione fosse valida. Per farlo abbiamo semplicemente calcolato V-S+F per tutti i poliedri costruiti e schedati: abbiamo visto che il risultato veniva sempre 2.

Ovviamente ho fatto i complimenti ad Anna e ho detto a tutti che questa relazione è nota come “relazione di Eulero”; i ragazzi erano entusiasti, straniti del fatto che valesse sempre, anche per i poliedri più strani che avevamo costruito, come ad esempio, un cubo a cui mancava un cubetto:

Immagine del cubo senza cubetto tratta da http://www.korthalsaltes.com

Ho però presto frenato i loro entusiasmi insinuando un dubbio: siamo certi che questa relazione sia valida per tutti i poliedri?

Poiché l’ora volgeva al termine, ho detto loro di provare a fare lo stesso calcolo per questo poliedro, che avevamo disegnato su carta isometrica in una delle precedenti lezioni [3]:

Poliedro o non poliedro, questo è il dilemma

L’ho detto convinta che, essendo questo poliedro “buco”, la relazione di Eulero non valesse; e invece, proprio mentre suonava la campanella, noi stavamo contando i 16 vertici, i 24 spigoli e le 10 facce (1 sopra, 1 sotto, 4 esterne e 4 interne), accorgendoci che V-S+F=16-24+10 faceva comunque 2.

Me ne sono uscita dicendo che c’era qualcosa che non andava, ma non sapevo cosa: o avevamo sbagliato a contare, o io avevo preso un abbaglio!

Grazie al cielo, proprio quel pomeriggio, ho partecipato ad una lezione di aggionamento ed approfondimento sulla Geometria, tenuta dalla professoressa Maria Dedò a Padova, presso il Liceo artistico “Pietro Selvatico“. Il titolo della conferenza era proprio “V-S+F=2 ovvero… salviamo la geometria dall’estinzione!”

Non mi sono fatta sfuggire l’occasione e ho proprio chiesto alla professoressa Dedò che cosa ci fosse che non andava nel mio “controesempio”: non essendo omeomorfo ad una sfera, ma ad un toro, la costante di Eulero non sarebbe dovuta valere 0? E così mi sono accorta che il problema stava nella definizione di poliedro. Se le facce di un poliedro devono essere dei poligoni, e se i poligoni devono essere delle parti di piano delimitate da una linea spezzata chiusa, il solido che avevo preso di esempio non era esattamente un poliedro (la faccia di sopra e la faccia di sotto non sono dei poligoni… sono parti di piano delimitate da due spezzate, una dentro l’altra).

Il giorno dopo, tornata a scuola, ho raccontato ai ragazzi della lezione di lunedì pomeriggio, e ho portato loro, trionfante, un solido (questa volta un vero poliedro) che avevamo costruito con il Polydron durante la lezione del pomeriggio prima:

Poliedro con caratteristica di Eulero pari a 0, formato da 5 cubottaedri e 5 prismi a base triangolare.

Due ragazzi (Luca e Thomas) in breve tempo hanno contato 60 vertici, 135 spigoli e 75 facce: quindi V-S+F=60-135+75 davvero non veniva 2, ma 0.

A questo punto ho chiesto ai ragazzi, divisi in gruppetti da 3 o 4 persone ciascuno, di costruire altri poliedri di questo tipo, con un buco in mezzo, per vedere se il valore di V-S+F continuasse ad essere 0.

Questo è il poliedro costruito da Nensi, Desiré, Sara e Vanessa:

Poliedro con caratteristica di Eulero pari a 0, formato da 5 piramidi a base quadrata e 5 prismi a base triangolare.

25 vertici, 55 spigoli, 30 facce; 25-55+30=0

Questo il poliedro costruito da Silvia, Shanty, Marco e Daniel:

Poliedro con caratteristica di Eulero pari a 0, formato da 5 bipiramidi a base quadrata e 5 prismi a base triangolare.

30 vertici, 75 spigoli, 45 facce; 30-75+45=0

Questo il poliedro costruito da Anna, Luca, Ambra e Sara:

54 vertici, 108 spigoli, 54 facce; 54-108+54=0

Dei vari gruppi, quello che ha avuto più difficoltà a contare vertici, spigoli e facce è stato il gruppo che ha costruito l’ultimo dei solidi qui sopra, perché in esso c’era sì una struttura che si ripeteva 9 volte, ma questa struttura non era tra “i solidi noti”.

Udaya, Marco e Riccardo hammo costruito questo solido:

24 vertici, 52 spigoli, 28; facce 24-52+28=0

In questo gruppo gli alunni hanno usato più tessere di Polydron per una stessa faccia: in alto si vedono quindi tante tessere diverse, ma le facce sono “solo” quattro trapezi (ciascuno formato da tre tessere triangolari: una rossa, una verde e una gialla) e quattro triangoli (le tessere blu); così pure, esternamente, ci sono quattro facce formate da quattro tessere quadrate ciascuna e quattro facce formate da due tessere quadrate ciascuna.

E adesso veniamo agli “errori”. Di un primo errore, il mio, ne abbiamo già parlato. E forse proprio questo mio primo errore ha male instradato due gruppi, che hanno costruito due solidi con due facce parallele che però non sono dei poligoni, ma delle superfici “con un buco”.

Questo il solido costruito da Andrea, Alessio, Matteo e Riccardo:

Solido formato da 10 prismi a base pentagonale.

Questo il solido costruito da Luca, Ilenia e Sara:

Solido formato da 6 parallelepipedi e da 6 prismi a base triangolare.

Anche a questi due gruppi, però, la somma V-S+F veniva 0. E io non mi capacitavo…

Com’è che nel mio solido/non-poliedro (anche se buco) la somma V-S+F non veniva 0, mentre nei solidi/non-poliedri buchi dei miei alunni invece sì?

Mi sono messa ad ascoltare come facevano i conti e mi sono accorta che (in entrambi i casi) consideravano le due facce parallele come suddivise in tante facce più piccole (una per ogni tessera del Polydron usata) e così ogni giuntura tra due tessere diventava uno spigolo. La mia prima reazione è stata, più o meno, questa: “Ma così state sommando errore ad errore! Il primo errore è stato che avete costruito un solido con due facce “buche” che quindi non è un poliedro, il secondo errore è che avete contato facce ciò che facce non sono e spigoli ciò che spigoli non sono”.

Tornata a casa ci ho pensato su.

E ho pensato che in realtà, il loro doppio errore apre la strada ad una riflessione profonda, che vedrò di proporre loro nella prossima lezione. La caratteristica di Eulero non appartiene solo ai poliedri. Appartiene ad un qualsiasi grafo [4] disegnato su una superficie: V indicherà il numero dei nodi del grafo, S indicherà il numero degli archi che connettono i nodi, F indicherà il numero delle regioni in cui la superficie risulta divisa. Se il grafo sarà disegnato su una superficie omeomorfa alla sfera, V-S+F sarà uguale a 2; se il grafo sarà disegnato su una superficie omeomorfa ad un toro, V-S+F sarà uguale a 0. Gli alunni di questo gruppo, di fatto, non hanno costruito un poliedro; ma hanno comunque evidenziato, sulla superficie del loro solido, un grafo per il quale comunque vale la relazione di Eulero: grandi, no?

[1] Si tratta della classe terza C della Scuola secondaria di primo grado “Piero Calamandrei” di Chirignago, Venezia.

[2] Forse non è il caso di dire “solo”, visto che il primo matematico ad accorgersi di questo fatto è stato Eulero, vissuto nel XVIII secolo.

[3] Su carta isometrica gli alunni avevano disegnato, durante le lezioni immediatamente precedenti a questa, vari solidi, copiandoli dal vero da solidi costruiti da me giustapponendo vari cubetti.

[4] In realtà non è che sia proprio un grafo qualsiasi. Deve essere un grafo che assomiglia ad un poliedro…! Ogni spigolo deve essere adiacente ad easttamente due facce e contenere esattamente due vertici, dati due vertici deve esistere al massimo uno spigolo che li contenga entrambi, date due facce, deve esistere al massimo uno spigolo adiacente ad entrambe, ogni vertice deve essere adiacente ad almeno tre facce e ogni faccia deve contenere almeno tre vertici.

La geometria allo specchio

Questo laboratorio è stato pensato durante la mia frequentazione del corso MathUp organizzato dall’associazione mateinitaly. Durante l’anno accademico 2015 / 2016 ha tenuto il corso centrato sulla classe prima della Scuola secondaria di primo grado la professoressa Maria Dedò ed è stata tutor del gruppo a cui appartenevo la professoressa Mari Angela Chimetto. A tutta l’organizzazione del corso, alla docente e alla tutor vanno i miei ringraziamenti: è stata davvero una bellissima occasione per ripensare alla mia didattica.

1. Titolo del laboratorio

La geometria allo specchio

2. Classe coinvolta

Classe prima C della Scuola secondaria di primo grado “Piero Calamandrei” a Venezia Chirignago

3. Area tematica di riferimento

Simmetria

4. Eventuali prerequisiti

Nulla di specifico

5. Obiettivi del laboratorio proposto

Obiettivi e traguardi sono tratti dalle Indicazioni nazionali e dalla scheda per la certificazione delle competenze. Ho scelto quelli che il laboratorio proposto concorre a raggiungere, senza la pretesa che il laboratorio stesso esaurisca tutto ciò che si può fare per andare verso questi obiettivi e queste competenze.

Obiettivi

Dalle Indicazioni nazionali In particolare…

Descrivere figure complesse e costruzioni geometriche al fine di comunicarle ad altri.

Riprodurre figure e disegni geometrici in base a una descrizione e codificazione fatta da altri.

Saper nominare e descrivere ai compagni del proprio gruppo le figure su cui si sta lavorando, usando per questo sia il linguaggio naturale (descrizione) sia alcuni termini del codice specifico della geometria (codificazione), quando se ne senta la necessità.
Risolvere problemi utilizzando le proprietà geometriche delle figure.

Riconoscere di essere in presenza di un problema di matematica anche quando nel testo non compaiano una sfilza di dati numerici.

Far tesoro di quanto si è appreso nei gruppi e non solo di quanto l’insegnante ha spiegato e formalizzato in precedenza.

Traguardi per lo sviluppo delle cometenze matematiche

Dalle Indicazioni nazionali In particolare…
Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi. Riconosce figure piane simmetriche da figure prive di simmetria.
Denomina i quadrilateri, di cui riconosce le simmetrie.
Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza. Spiega il procedimento seguito, anche in forma scritta, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati.

Riconosce i problemi, distinguendo (nel testo o nella situazione che li propongono) le informazioni accessorie da quelle essenziali.

Spiega sia il procedimento risolutivo scelto dal gruppo, sia le eventuali proposte scartate (motivando la decisione presa).

Ha rafforzato un atteggiamento positivo rispetto alla matematica attraverso esperienze significative e ha capito come gli strumenti matematici appresi siano utili in molte situazioni per operare nella realtà.

Assume all’interno del gruppo un atteggiamento attivo (propositivo o di esplicito interesse per ciò che si sta facendo).

Riconosce ambiti della realtà (ad esempio ambiti artistici) in cui viene sfruttata la simmetria delle figure per attività umane non esclusivamente matematiche.

Traguardi per lo sviluppo delle competenze chiave

Dalla scheda per la certificazione delle competenze In particolare…
Osserva ed interpreta ambienti, fatti, fenomeni e produzioni artistiche. Osserva e riconosce la simmetria in produzioni artistiche.
Si impegna per portare a compimento il lavoro iniziato da solo o insieme ad altri.

Ha un ruolo attivo all’interno del gruppo.

Mantiene l’attenzione sul compito assegnato al gruppo finché non è stato svolto completamente.

Si assume le proprie responsabilità, chiede aiuto quando si trova in difficoltà e sa fornire aiuto a chi lo chiede.

Parla con i membri del proprio gruppo.

Manifesta (anche solo con in linguaggio del corpo, ma in maniera esplicita) le proprie difficoltà o il proprio entusiasmo.

Aspetta il momento opportuno per chiedere o per spiegarsi, rispettando i tempi di ciascun membro del gruppo.

Rispetta le regole condivise, collabora con gli altri per la costruzione del bene comune esprimendo le proprie personali opinioni e sensibilità. Rispetta le regole che il gruppo ha scelto.

A proposito dell’ultimo traguardo indicato (relativo alle regole condivise), si veda il seguente allegato.

Descrizione di una attività svolta prima del laboratorio, per favorire il cooperative learning
Titolo: Regole per lavorare insieme - rivisto (0 click)
Etichetta: Descrizione di una attività svolta prima del laboratorio, per favorire il cooperative learning
Filename: allegato-00-regole-per-lavorare-insieme-rivisto.pdf
Dimensione: 1 MB

6. Eventuali collegamenti con altri argomenti di matematica

Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti

Le attività di questo laboratorio sono legate alla simmetria delle figure piane: descrivere il tipo di simmetria di una figura significa descrivere l’insieme (che non è solo un insieme, ma è un gruppo, anche se non formalizzeremo certo questo concetto) di tutte le trasformazioni geometriche che mandano quella figura in sé stessa.

Ora, il laboratorio è pensato in modo tale che i ragazzi possano entrare in contatto con la simmetria delle figure anche senza aver studiato nulla sulle trasformazioni geometriche, ma è indubbio il collegamento che c’è tra questo laboratorio e le isometrie.

Che le isometrie siano trattate in precedenza o successivamente al laboratorio (o parallelamente, in altre ore di lezione) non è particolarmente importante: le schede contengono tutte le informazioni necessarie ai ragazzi (quindi non è indispensabile aver già definito formalmente che cos’è una riflessione rispetto ad una retta o una rotazione) e vertono comunque su un aspetto particolare (il gruppo di simmetria delle figure piane) che presumibilmente non si tratta nell’affrontare semplicemente il tema delle isometrie.

7. Collegamenti con le scienze: la simmetria in natura

In alcune schede di questo laboratorio saranno proposte fotografie di fiori o foglie con forme simmetriche, che quindi potrebbero offrire lo spunto per approfondire la presenza della simmetria in natura.

Io quest’anno non lo farò con la classe, ma per le vacanze estive proporrò la ricerca e la raccolta di foglie da far seccare (indicando anche ai ragazzi come farle seccare in modo efficace) e la loro classificazione in base alle simmetrie in esse presenti.

8. Collegamenti con altre discipline: la simmetria nell’arte

In alcune schede di questo laboratorio saranno proposte fotografie di mosaici o altre decorazioni con forme simmetriche, che quindi potrebbero offrire lo spunto per approfondire la presenza della simmetria nell’arte.

Io quest’anno non lo farò con la classe e non sono riuscita a coinvolgere la mia collega di Arte e immagine, anche se credo sia una cosa fattibile. Per quest’anno mi limiterò a fare ai ragazzi una proposta simile a quella sopra descritta per scienze: per le vacanze estive proporrò di osservare nelle città che andranno eventualmente a visitare o nella nostra città particolari artistici da fotografare che presentino delle simmetrie e di classificare le foto fatte, proprio in base alle simmetrie in esse presenti. Per motivare i ragazzi aggiungerò anche che le foto più belle potranno essere pubblicate sul sito del Centro matematita (nella sezione materiali) e che, potremo con esse creare una presentazione da pubblicare sullo stesso sito (nella sezione percorsi) perché possa essere vista anche da altri insegnanti e da altre classi.

9. Numero di sessioni e durata prevedibile di ogni sessione

Il laboratorio si svolgerà in 5 sessioni di un’ora ciascuna.

Svolgerò queste sessioni preferibilmente in giornate in cui ho due ore consecutive di lezione nella classe, in modo tale che ci sia una ora piena di laboratorio (il resto del tempo servirà per l’appello, le informazioni di servizio, la sistemazione dei banchi prima e dopo l’attività, l’assegnazione di attività da svolgere a casa…).

10. Tipologia dei gruppi

La classe è formata da 26 alunni.

Sarà suddivisa in 6 gruppi (4 gruppi di quattro alunni e 2 gruppi di cinque alunni). Ritengo che gruppi di cinque alunni siano troppo numerosi per lavorare bene. In questa classe accade però che una ragazzina viene a scuola molto raramente; mettendola in gruppo con sole altre tre persone rischierei che si trovassero a lavorare per più della metà delle sessioni in tre. Inoltre non abbiamo grandi spazi e 7 gruppi si troverebbero a lavorare su banchi troppo vicini tra loro.

Saranno gruppi costruiti da me, eterogenei per livello scolastico degli alunni. Credo che questa scelta consenta ai più in difficoltà di avere un aiuto da quelli più esperti, che hanno invece modo di crescere autenticamente nella loro capacità di spiegarsi, di dare ragione delle proprie scelte, di giustificare il loro pensiero.

11. Materiale necessario

Specchi

Per ciascun gruppo 2 specchi quadrati (15×15 cm, di quelli venduti in negozi di bricolage come elementi decorativi per bagni; hanno un prezzo relativamente basso e non sono taglienti sui bordi). Ho già questi specchi, acquistati per attività svolte con altre classi negli anni precedenti, quindi per una questione meramente economica preferisco non affrontare altre spese. Per chi dovesse acquistare ex-novo il materiale per il laboratorio, vale la pena di considerare la possibilità di prendere specchi in plexiglas, che sono infrangibili.

Cartone alveolare

Per ciascun gruppo un pezzo di cartone alveolare spesso un paio di centimetri, recuperato da imballi di mobili ed elettrodomestici, e un elastico piatto, forte abbastanza da tenere gli specchi aderenti allo spessore del cartone. Questo cartone, già tagliato, servirà per sostenere una coppia di specchi paralleli.
Per chi dovesse realizzare un laboratorio simile a questo in futuro, credo che l’ideale sarebbe prevedere una struttura di supporto anche più solida, ad esempio un pezzo di compensato con due fessure in cui inserire gli specchi.

Il problema che non sono riuscita a risolvere è stato: come realizzare le due fessure in modo da farle esattamente parallele? Con gli strumenti che ho avrei fatto un sacco di pasticci e non sono per il momento riuscita a trovare qui nei dintorni un artigiano disponibile ad aiutarmi in questo compito.

Nastro adesivo telato

Può bastare un rotolo per l’intera classe: serve solo da cerniera tra gli specchi incidenti.

Tessere in plastica

Ogni gruppo avrà una decina di tessere diverse; le tessere corrisponderanno a poligoni aventi un angolo “notevole” (uno degli angoli riportati sul goniometro che dovrà venire usato nella terza sessione).

Carta da lucido, ferma-campioni

Ogni gruppo avrà un paio di fogli di carta da lucido e un paio di ferma-campioni per le attività previste nella quarta sessione

Schede

Nella prima sessione, verrà consegnata una scheda per ciascun ragazzo (sarà attraverso la scheda che trovano le istruzioni per lavorare in gruppo); nelle altre sessioni la scheda sarà una per gruppo, in modo che siano costretti a lavorare insieme.

12. Attività da svolgere in ogni sessione

Prologo

Prima di iniziare il laboratorio sottoporrò ai ragazzi un questionario, prima parte di quella che ho chiamato una “verifica comparativa”.

Verifica del laboratorio tramite il confronto tra le risposte date dagli alunni alle medesime domande poste prima e dopo lo svolgimento delle attività.
Titolo: Verifica comparativa (0 click)
Etichetta: Verifica del laboratorio tramite il confronto tra le risposte date dagli alunni alle medesime domande poste prima e dopo lo svolgimento delle attività.
Filename: allegato-06-verifica-comparativa-rivisto.pdf
Dimensione: 946 KB

Un questionario del tutto simile sarà sottoposto agli alunni al termine del laboratorio: servirà sia per la valutazione degli apprendimenti dei singoli alunni, sia per la valutazione dell’efficacia del laboratorio.

Alcune delle immagini utilizzate per preparare la verifica sono tratte dal sito Immagini per la matematica; alcuni esercizi sono tratti da C. Bertinetto – A. Metiäinen – J. Paasonen – E. Voutilainen, Contaci!, Zanichelli editore (non ho specificato quali, all’interno della verifica, per non appesantire la lettura da parte degli alunni)

Prima sessione: formazione dei gruppi

La prima sessione che ho previsto non contiene attività ad alto contenuto matematico o essenziali per lo svolgimento di quelle successive.

Scheda per la prima sessione, durante la quale si formano i gruppi di lavoro
Titolo: Sessione 1 (0 click)
Etichetta: Scheda per la prima sessione, durante la quale si formano i gruppi di lavoro
Filename: allegato-01-sessione-1.pdf
Dimensione: 737 KB

Non per questo la ritengo meno importante: lavorare in gruppo non è qualcosa che i ragazzi sanno già fare bene, né qualcosa di facilissimo. Ho già proposto alla classe alcuni lavori di gruppo (di 1 o 2 sessioni, di 1 o 2 ore ciascuna) e in ogni occasione ho proposto inizialmente alcune attività “ludiche” per permettere il crearsi, all’interno dei nuovi gruppi, di un clima positivo, non diffidente. Mi è sembrata una scelta vincente, perché questo clima sereno e giocoso ha poi permesso ai gruppi di lavorare bene. Con altre classi, in anni precedenti, mi è successo a volte di rinunciare a far lavorare i ragazzi in gruppi perché mi sembrava ogni volta un fallimento, ma mi sono accorta che probabilmente questo è dipeso anche dal fatto che io stessa non avevo fatto nulla per creare un clima positivo, motivante e sereno.

La scelta di far lavorare i ragazzi sulle fotografie dei loro volti deriva da una istanza simile, più relativa al creare il gruppo che alla matematica in sé: riconosco che dal punto di vista prettamente matematico lavorare su immagini di oggetti tridimensionali potrebbe essere fuorviante; una attenta osservazione di queste fotografie mostra che la resa è cambiata molto a seconda dell’angolazione da cui è stata presa la foto (ovvio che io cercavo di essere ben davanti ai ragazzi, ma per alcuni “tenere la testa dritta” è stata davvero un’impresa, anche solo per una certa timidezza di fronte all’obiettivo). Eppure, osservare ciascuno le immagini degli altri, notare alcuni particolari, riconoscere l’immagine originale da quelle ritoccate spero sia un modo per rinnovare l’interesse gli uni per gli altri.

Per quanto possa sembrare irrilevante, credo che anche i 10 minuti in cui ho fotografato gli alunni in aula abbiano creato curiosità ed interesse per il laboratorio: curiosità ed interesse che sono ingredienti fondamentali per l’apprendimento.

Inoltre, credo che dare agli alunni la possibilità di ritrovarsi su una scheda e quindi il fornirgli la prova tangibile che il laboratorio è stato pensato, progettato, ritagliato su misura per loro, sia una carta vincente. Ho spesso infatti la netta sensazione che tanti problemi che i preadolescenti (e le classi di preadolescenti) ci danno, siano legati ad un pensiero latente che in essi è spesso presente: “Di questo (l’insegnante o l’adulto in generale) non posso fidarmi, tanto è qui solo perché deve e tanto prima o poi se ne va”. Ogni volta che, invece della solita fotocopia o della solita scheda, ho fornito del materiale ai ragazzi che non solo fosse scritto per loro, ma che anche lo dichiarasse (per esempio facendo riferimento a fatti avvenuti in classe o a domande poste dai ragazzi), ho notato una impagabile (e probabilmente immeritata) stima da parte loro nei miei confronti, che credo sia alla base del loro “comportarsi bene” quando si relazionano con me.

Infine, nella convinzione che “una percentuale mostruosamente alta di quello che insegniamo non viene da ciò che diciamo e che viene (più o meno) ascoltato, ma (molto di più) viene dall’esempio che diamo con i nostri comportamenti (nel bene e nel male)”, credo che fornire ai ragazzi delle schede curate e chiaramente preparate per loro possa essere un esempio del fatto che si può (ed è bello) lavorare con passione, mettere la testa e il cuore in ciò che si fa (invece di far sempre e solo dei semplici copia e incolla), trovare interesse per la matematica e per l’insegnamento. Condivido pienamente quest’idea, ma ho virgolettato perché mi è piaciuto riproporla con le stesse parole usate per esprimerla dalla professoressa Dedò, dalla quale ho imparato tanto attraverso ciò che mi ha detto, ma mostruosamente di più da come ha condotto il corso che ho seguito con lei, dalla dedizione e dalla cura con cui ha preparato i materiali per noi, dalle personalissime osservazioni che ha fatto alle mie proposte, dal modo con cui ha sottolineato ciò che le sembrava oscuro ma anche ciò che le sembrava bello…

L’ispirazione a questo tipo di gioco iniziale mi è venuta osservando una immagine riportata nel testo “Il ritmo delle forme” a cura di P. Bellingeri, M. Dedò, S. Di Sieno e C. Turrini, Mimesis, Milano 2001 (pagina 89); il contesto in cui l’immagine si trova è un’intervista a Giovanni Berlucchi, professore di fisiologia umana nella Facoltà di Medicina dell’Università di Verona, a proposito della asimmetria degli emisferi del nostro cervello e delle conseguenze sulla nostra percezione: di tutto questo non farò parola con i ragazzi, per quanto possa essere un discorso affascinante.

Seconda sessione: lo specchio per riconoscere simmetrie e asimmetrie

Con la seconda sessione il laboratorio entra nel vivo.

Gli scopi di questa attività sono:

  • condurre gli alunni a capire che cosa significa che una figura piana ha uno o due assi di simmetria o un centro di simmetria;
  • far sperimentare come l’uso di uno specchio possa aiutarci a riconoscere gli assi di simmetria in una figura stampata o disegnata;
  • condurre gli alunni ad una classificazione.

La scheda che consegnerò ai ragazzi è la “SCHEDA A” del laboratorio “Specchi – Osservare la simmetria” del Centro matematita, senza modifiche (se avrò tempo, la modificherò semplicemente per dare uniformità al layout delle diverse schede del laboratorio).

Terza sessione: specchi paralleli e specchi incidenti

Analisi dell’effetto che si ottiene mettendo due specchi paralleli.

Analisi dell’effetto che si ottiene mettendo due specchi incidenti e di quali sono gli angoli che ci permettono di riprodurre un numero intero di immagini.

Goniometro utile per l'analisi dell'effetto di specchi incidenti
Titolo: Goniometro sessione 3 (0 click)
Etichetta: Goniometro utile per l'analisi dell'effetto di specchi incidenti
Filename: allegato-03-goniometro-sessione-3-rivisto.pdf
Dimensione: 82 KB
Scheda della terza sessione: specchi paralleli e specchi incidenti
Titolo: Sessione 3 (0 click)
Etichetta: Scheda della terza sessione: specchi paralleli e specchi incidenti
Filename: allegato-02-sessione-3-rivisto.pdf
Dimensione: 2 MB

Quarta sessione: classificazione di figure in base agli assi di simmetria

Assegnerò a ciascun gruppo una serie di figure e due specchi. Gli alunni dovranno classificarle in base a “come si possono ricostruire” con uno specchio o due specchi.

Schede della quarta sessione di laboratorio: uso degli specchi e di altri stratagemmi per riconoscere figure simmetriche
Titolo: Sessione 4 (0 click)
Etichetta: Schede della quarta sessione di laboratorio: uso degli specchi e di altri stratagemmi per riconoscere figure simmetriche
Filename: allegato-04-sessione-4.pdf
Dimensione: 1 MB

La scheda qui sopra allegata è sostanzialmente la “SCHEDA B” del laboratorio “Specchi – Osservare la simmetria” del Centro matematita, con alcune modifiche (soprattutto nella parte introduttiva, che lega le attività a quelle precedentemente svolte).

Quinta sessione: un problema

Ogni gruppo dovrà cimentarsi con la risoluzione di un problema, tratto da quelli proposti su Quaderno a quadretti. Ho scelto il problema “Gusti difficili alla corte di Leonello” (giochi 2013 – II tappa – I media).

Scheda della sessione 5 del laboratorio - problema tratto dal sito quadernoaquadretti
Titolo: sessione 5 (0 click)
Etichetta: Scheda della sessione 5 del laboratorio - problema tratto dal sito quadernoaquadretti
Filename: allegato-05-sessione-5.pdf
Dimensione: 63 KB

Epilogo

Terminato il laboratorio, agli alunni saranno sottoposti due questionari:

  • il primo questionario sarà del tutto simile a quello iniziale, insieme al quale costituisce una “verifica comparativa”, utile sia per la valutazione degli apprendimenti individuali, sia per la valutazione dell’efficacia del laboratorio;
  • il secondo questionario, anonimo, servirà per capire come si sono sentiti gli alunni all’interno dei singoli gruppi e per raccogliere una loro valutazione del laboratorio stesso.
Questionario per la valutazione dellefficacia del laboratorio
Titolo: questionario anonimo (0 click)
Etichetta: Questionario per la valutazione dellefficacia del laboratorio
Filename: allegato-07-questionario-anonimo-rivisto.pdf
Dimensione: 153 KB
Verifica del laboratorio tramite il confronto tra le risposte date dagli alunni alle medesime domande poste prima e dopo lo svolgimento delle attività.
Titolo: Verifica comparativa (0 click)
Etichetta: Verifica del laboratorio tramite il confronto tra le risposte date dagli alunni alle medesime domande poste prima e dopo lo svolgimento delle attività.
Filename: allegato-06-verifica-comparativa-rivisto.pdf
Dimensione: 946 KB

15. Prevedibili difficoltà

In generale, credo che la difficoltà maggiore sarà, per tutti gli alunni, svolgere le attività proposte sulle schede senza richiedere continuamente spiegazioni da parte mia e senza pretendere di rispondere senza leggere, come spesso fanno. Questo è stato l’atteggiamento che ho visto in questa classe nei passati primi mesi di scuola; credo che però arriveremo a maggio abbastanza allenati da poter condurre un laboratorio di questo tipo, in cui io possa assumere il più possibile il ruolo dello spettatore attento.

A livello di difficoltà più relative alla matematica, credo che il momento in cui emergeranno maggiormente le diverse competenze di diversi alunni sarà quello finale, in cui dovranno risolvere il problema. Credo però anche che, proprio per questa fase, il lavorare in gruppo sia una risorsa molto preziosa.

16. Modalità di valutazione dell’efficacia del laboratorio

Il laboratorio sarà stato tanto più efficace quanto più:

  • tutti gli alunni saranno stati coinvolti (posso valutarlo attraverso le griglie di osservazione predisposte e che compilerò durante le sessioni e attraverso il questionario finale, anonimo visto che non si tratta di valutare i singoli ragazzi ma il laboratorio di per sé);
  • tutti gli alunni avranno scoperto qualcosa di nuovo (posso valutarlo attraverso domande specifiche sul questionario finale anonimo);
  • tutti gli alunni saranno stati in grado di descrivere le attività fatte all’interno dei gruppi (in ogni sessione lascerò del tempo perché i gruppi – magari anche uno o due per volta se il tempo dovesse essere troppo poco – raccontino quanto osservato; a raccontare dovranno essere tutti i membri, interpellati a turno da me);
  • tutti gli alunni avranno fatto dei passi avanti verso il raggiungimento degli obiettivi ai quali il laboratorio concorre; ho tentato a tal fine di predisporre una verifica comparativa: le stesse domande (o domande molto simili) verranno sottoposte agli alunni sia prima che dopo il laboratorio per vedere quanti di loro hanno tratto beneficio riguardo ad alcuni obiettivi inizialmente elencati.
  • gli alunni avranno lavorato in modo autonomo (posso valutarlo attraverso la griglia di osservazione, in cui segnerò quante volte i gruppi hanno avuto bisogno del mio intervento per spiegare ciò che non avevo sufficientemente spiegato nelle schede).
Griglie di osservazione per la valutazione delle abilità sociali
Titolo: griglie di osservazione (0 click)
Etichetta: Griglie di osservazione per la valutazione delle abilità sociali
Filename: allegato-08-griglie-di-osservazione.pdf
Dimensione: 215 KB
Questionario per la valutazione dellefficacia del laboratorio
Titolo: questionario anonimo (0 click)
Etichetta: Questionario per la valutazione dellefficacia del laboratorio
Filename: allegato-07-questionario-anonimo-rivisto.pdf
Dimensione: 153 KB
Verifica del laboratorio tramite il confronto tra le risposte date dagli alunni alle medesime domande poste prima e dopo lo svolgimento delle attività.
Titolo: Verifica comparativa (0 click)
Etichetta: Verifica del laboratorio tramite il confronto tra le risposte date dagli alunni alle medesime domande poste prima e dopo lo svolgimento delle attività.
Filename: allegato-06-verifica-comparativa-rivisto.pdf
Dimensione: 946 KB

I ponti di Koenigsberg

Königsberg è una città, un tempo parte della Prussia Orientale, oggi exclave russa sul Baltico nota con il nome di Kaliningrad.

Mappa di Koenigsberg, Merian-Erben, 1652

Questa città è percorsa dal fiume Pregel che, ad un certo punto, si divide in due rami formando un’isola in corrispondenza della biforcazione. Il territorio della città è così diviso in quattro aree, collegate tra loro da sette punti, come in figura.

Matematita. Schema dei ponti di Koenigsberg.

La situazione puù ulteriormente essere schematizzata dalla seguente figura, in cui si evidenzia l’isola A, le sponde B e C, la parte interna alla biforcazione D:

Gianfranco Bo. I ponti di Koenigsberg.

Ora, la domanda è: è possibile fare una passeggiata, passando su tutti i ponti e su ciascun ponte una sola volta?