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Sbagliando si impara

Se non fai errori, stai lavorando su problemi che non sono abbastanza difficili. E questo è un grosso errore.
(Frank Wikzek)

Lunedì 27 febbraio 2018, in terza C [1], abbiamo raccolto le fila di un lungo lavoro fatto in classe nelle scorse settimane. Ogni alunno aveva costruito, a partire da sviluppi piani stampati da me su cartoncini, una dozzina di poliedri. In piccoli gruppi, in classe, avevano dovuto contare, per ciascuno dei loro poliedri, il numero dei suoi spigoli, dei suoi vertici e delle sue facce. Tutti questi numeri erano stati inseriti in una tabella che i ragazzi avevano dovuto analizzare per vedere se riuscivano a trovare qualche regolarità, in particolare se riuscivano a trovare una relazione valida per tutti i poliedri analizzati che legasse S (il numero degli spigoli), V (il numero dei vertici) e F (il numero delle facce).

Raccogliere le fila ha significato constatare che solo [2] una alunna (Anna) aveva scoperto qualcosa, accorgendosi che per ciascuno dei poliedri i cui dati avevamo inserito in tabella accadeva che V-S+F=2.

Dapprima, malfidati come abbiamo imparato ad essere, abbiamo verificato che in tutti i casi da noi studiati (una ventina in tutto) questa relazione fosse valida. Per farlo abbiamo semplicemente calcolato V-S+F per tutti i poliedri costruiti e schedati: abbiamo visto che il risultato veniva sempre 2.

Ovviamente ho fatto i complimenti ad Anna e ho detto a tutti che questa relazione è nota come “relazione di Eulero”; i ragazzi erano entusiasti, straniti del fatto che valesse sempre, anche per i poliedri più strani che avevamo costruito, come ad esempio, un cubo a cui mancava un cubetto:

Immagine del cubo senza cubetto tratta da http://www.korthalsaltes.com

Ho però presto frenato i loro entusiasmi insinuando un dubbio: siamo certi che questa relazione sia valida per tutti i poliedri?

Poiché l’ora volgeva al termine, ho detto loro di provare a fare lo stesso calcolo per questo poliedro, che avevamo disegnato su carta isometrica in una delle precedenti lezioni [3]:

Poliedro o non poliedro, questo è il dilemma

L’ho detto convinta che, essendo questo poliedro “buco”, la relazione di Eulero non valesse; e invece, proprio mentre suonava la campanella, noi stavamo contando i 16 vertici, i 24 spigoli e le 10 facce (1 sopra, 1 sotto, 4 esterne e 4 interne), accorgendoci che V-S+F=16-24+10 faceva comunque 2.

Me ne sono uscita dicendo che c’era qualcosa che non andava, ma non sapevo cosa: o avevamo sbagliato a contare, o io avevo preso un abbaglio!

Grazie al cielo, proprio quel pomeriggio, ho partecipato ad una lezione di aggionamento ed approfondimento sulla Geometria, tenuta dalla professoressa Maria Dedò a Padova, presso il Liceo artistico “Pietro Selvatico“. Il titolo della conferenza era proprio “V-S+F=2 ovvero… salviamo la geometria dall’estinzione!”

Non mi sono fatta sfuggire l’occasione e ho proprio chiesto alla professoressa Dedò che cosa ci fosse che non andava nel mio “controesempio”: non essendo omeomorfo ad una sfera, ma ad un toro, la costante di Eulero non sarebbe dovuta valere 0? E così mi sono accorta che il problema stava nella definizione di poliedro. Se le facce di un poliedro devono essere dei poligoni, e se i poligoni devono essere delle parti di piano delimitate da una linea spezzata chiusa, il solido che avevo preso di esempio non era esattamente un poliedro (la faccia di sopra e la faccia di sotto non sono dei poligoni… sono parti di piano delimitate da due spezzate, una dentro l’altra).

Il giorno dopo, tornata a scuola, ho raccontato ai ragazzi della lezione di lunedì pomeriggio, e ho portato loro, trionfante, un solido (questa volta un vero poliedro) che avevamo costruito con il Polydron durante la lezione del pomeriggio prima:

Poliedro con caratteristica di Eulero pari a 0, formato da 5 cubottaedri e 5 prismi a base triangolare.

Due ragazzi (Luca e Thomas) in breve tempo hanno contato 60 vertici, 135 spigoli e 75 facce: quindi V-S+F=60-135+75 davvero non veniva 2, ma 0.

A questo punto ho chiesto ai ragazzi, divisi in gruppetti da 3 o 4 persone ciascuno, di costruire altri poliedri di questo tipo, con un buco in mezzo, per vedere se il valore di V-S+F continuasse ad essere 0.

Questo è il poliedro costruito da Nensi, Desiré, Sara e Vanessa:

Poliedro con caratteristica di Eulero pari a 0, formato da 5 piramidi a base quadrata e 5 prismi a base triangolare.

25 vertici, 55 spigoli, 30 facce; 25-55+30=0

Questo il poliedro costruito da Silvia, Shanty, Marco e Daniel:

Poliedro con caratteristica di Eulero pari a 0, formato da 5 bipiramidi a base quadrata e 5 prismi a base triangolare.

30 vertici, 75 spigoli, 45 facce; 30-75+45=0

Questo il poliedro costruito da Anna, Luca, Ambra e Sara:

54 vertici, 108 spigoli, 54 facce; 54-108+54=0

Dei vari gruppi, quello che ha avuto più difficoltà a contare vertici, spigoli e facce è stato il gruppo che ha costruito l’ultimo dei solidi qui sopra, perché in esso c’era sì una struttura che si ripeteva 9 volte, ma questa struttura non era tra “i solidi noti”.

Udaya, Marco e Riccardo hammo costruito questo solido:

24 vertici, 52 spigoli, 28; facce 24-52+28=0

In questo gruppo gli alunni hanno usato più tessere di Polydron per una stessa faccia: in alto si vedono quindi tante tessere diverse, ma le facce sono “solo” quattro trapezi (ciascuno formato da tre tessere triangolari: una rossa, una verde e una gialla) e quattro triangoli (le tessere blu); così pure, esternamente, ci sono quattro facce formate da quattro tessere quadrate ciascuna e quattro facce formate da due tessere quadrate ciascuna.

E adesso veniamo agli “errori”. Di un primo errore, il mio, ne abbiamo già parlato. E forse proprio questo mio primo errore ha male instradato due gruppi, che hanno costruito due solidi con due facce parallele che però non sono dei poligoni, ma delle superfici “con un buco”.

Questo il solido costruito da Andrea, Alessio, Matteo e Riccardo:

Solido formato da 10 prismi a base pentagonale.

Questo il solido costruito da Luca, Ilenia e Sara:

Solido formato da 6 parallelepipedi e da 6 prismi a base triangolare.

Anche a questi due gruppi, però, la somma V-S+F veniva 0. E io non mi capacitavo…

Com’è che nel mio solido/non-poliedro (anche se buco) la somma V-S+F non veniva 0, mentre nei solidi/non-poliedri buchi dei miei alunni invece sì?

Mi sono messa ad ascoltare come facevano i conti e mi sono accorta che (in entrambi i casi) consideravano le due facce parallele come suddivise in tante facce più piccole (una per ogni tessera del Polydron usata) e così ogni giuntura tra due tessere diventava uno spigolo. La mia prima reazione è stata, più o meno, questa: “Ma così state sommando errore ad errore! Il primo errore è stato che avete costruito un solido con due facce “buche” che quindi non è un poliedro, il secondo errore è che avete contato facce ciò che facce non sono e spigoli ciò che spigoli non sono”.

Tornata a casa ci ho pensato su.

E ho pensato che in realtà, il loro doppio errore apre la strada ad una riflessione profonda, che vedrò di proporre loro nella prossima lezione. La caratteristica di Eulero non appartiene solo ai poliedri. Appartiene ad un qualsiasi grafo [4] disegnato su una superficie: V indicherà il numero dei nodi del grafo, S indicherà il numero degli archi che connettono i nodi, F indicherà il numero delle regioni in cui la superficie risulta divisa. Se il grafo sarà disegnato su una superficie omeomorfa alla sfera, V-S+F sarà uguale a 2; se il grafo sarà disegnato su una superficie omeomorfa ad un toro, V-S+F sarà uguale a 0. Gli alunni di questo gruppo, di fatto, non hanno costruito un poliedro; ma hanno comunque evidenziato, sulla superficie del loro solido, un grafo per il quale comunque vale la relazione di Eulero: grandi, no?

[1] Si tratta della classe terza C della Scuola secondaria di primo grado “Piero Calamandrei” di Chirignago, Venezia.

[2] Forse non è il caso di dire “solo”, visto che il primo matematico ad accorgersi di questo fatto è stato Eulero, vissuto nel XVIII secolo.

[3] Su carta isometrica gli alunni avevano disegnato, durante le lezioni immediatamente precedenti a questa, vari solidi, copiandoli dal vero da solidi costruiti da me giustapponendo vari cubetti.

[4] In realtà non è che sia proprio un grafo qualsiasi. Deve essere un grafo che assomiglia ad un poliedro…! Ogni spigolo deve essere adiacente ad easttamente due facce e contenere esattamente due vertici, dati due vertici deve esistere al massimo uno spigolo che li contenga entrambi, date due facce, deve esistere al massimo uno spigolo adiacente ad entrambe, ogni vertice deve essere adiacente ad almeno tre facce e ogni faccia deve contenere almeno tre vertici.

Compiti – 2C – 25/05/2017

Omotetie

Ricorda:

  • una omotetia di centro O è una trasformazione che manda ogni punto P del piano in un punto P’ che si trova sulla retta OP;
  • se il rapporto dell’omotetia è positivo (+), il punto P’ si trova dalla stessa parte di P rispetto ad O;
  • se il rapporto dell’omotetia è negativo (-), il punto P’ si trova dalla parte opposta di P rispetto ad O;
  • il rapporto tra la lunghezza del segmento OP’ e la lunghezza del segmento OP è pari al valore assoluto del rapporto dell’omotetia (in altre parole: se il rapporto dell’omotetia è +4 o -4, la distanza di P’ da O è il quadruplo della distanza di P da O; se il rapporto dell’omotetia è -1/2 o +1/2, la distanza di P’ da O è la metà della distanza di P da O).

Esercizio 1

Ricopia sul quaderno la figura, contando bene i quadretti (ad ogni quadretto sulla figura, fai corrispondere un quadretto sul quaderno).

Disegna il poligono A’B’C’D’E’, immagine di ABCDE in una omotetia di centro O e rapporto +1/4.

omo1

Esercizio 2

Ricopia sul quaderno la figura, contando bene i quadretti (ad ogni quadretto sulla figura, fai corrispondere un quadretto sul quaderno).

Disegna il poligono A’B’C’D’E’, immagine di ABCDE in una omotetia di centro O e rapporto +3.

omo2

Esercizio 3

Ricopia sul quaderno la figura, contando bene i quadretti (ad ogni quadretto sulla figura, fai corrispondere un quadretto sul quaderno).

Disegna il poligono A’B’C’D’E’, immagine di ABCDE in una omotetia di centro O e rapporto -1/3.

omo3

Esercizio 4

Ricopia sul quaderno la figura, contando bene i quadretti (ad ogni quadretto sulla figura, fai corrispondere un quadretto sul quaderno).

Disegna il poligono A’B’C’D’E’, immagine di ABCDE in una omotetia di centro O e rapporto -2.

omo4

Simmetrie

Dalle classi seconda C e terza C dell’anno scolastico 2016 / 2017 della Scuola secondaria di primo grado “Piero Calamandrei” di Venezia Chirignago alcune interpretazioni della simmetria ottenute grazie a GeoGebra.

Compiti per il 21 dicembre 2016, classe 2ª C

Osserva la figura.
I segmenti AB, AC, AD, AE sono tutti uguali.
In particolare, se usiamo come unità di misura il lato di un quadretto, sono tutti lunghi 5.

Osserva bene come sono posti i loro estremi rispetto agli incroci dei quadretti.
Riproduci la figura sul tuo quaderno, rispettando gli incroci con i quadretti.

Rombi

Riesci a disegnare un rombo che abbia uno dei lati messo (rispetto ai quadretti) come AB, ossia orizzontale e lungo 5?
Uno solo o anche di più?
Disegna tutti i rombi che riesci, diversi tra loro, con un lato messo come il segmento AB.

Riesci a disegnare un rombo che abbia uno dei lati messo (rispetto ai quadretti) come AC, ossia verticale e lungo 5?
Uno solo o anche di più?
Disegna tutti i rombi che riesci, diversi tra loro, con un lato messo come il segmento AC.

Riesci a disegnare un rombo che abbia uno dei lati messo (rispetto ai quadretti) come AD, ossia con coefficiente angolare sx3 giù4 e lungo 5?
Uno solo o anche di più?
Disegna tutti i rombi che riesci, diversi tra loro, con un lato messo come il segmento AD.

Riesci a disegnare un rombo che abbia uno dei lati messo (rispetto ai quadretti) come AE, ossia con coefficiente angolare sx4 giù3 e lungo 5?
Uno solo o anche di più?
Disegna tutti i rombi che riesci, diversi tra loro, con un lato messo come il segmento AE.

 

 

 

 

 

 

Compiti per il 16 novembre 2016, classe 3ª C

Omotetie

Ricorda:

  • una omotetia di centro O è una trasformazione che manda ogni punto P del piano in un punto P’ che si trova sulla retta OP;
  • se il rapporto dell’omotetia è positivo (+), il punto P’ si trova dalla stessa parte di P rispetto ad O;
  • se il rapporto dell’omotetia è negativo (-), il punto P’ si trova dalla parte opposta di P rispetto ad O;
  • il rapporto tra la lunghezza del segmento OP’ e la lunghezza del segmento OP è pari al valore assoluto del rapporto dell’omotetia (in altre parole: se il rapporto dell’omotetia è +4 o -4, la distanza di P’ da O è il quadruplo della distanza di P da O; se il rapporto dell’omotetia è -1/2 o +1/2, la distanza di P’ da O è la metà della distanza di P da O).

Esercizio 1

Ricopia sul quaderno la figura, contando bene i quadretti (ad ogni quadretto sulla figura, fai corrispondere un quadretto sul quaderno).

Disegna il poligono A’B’C’D’E’, immagine di ABCDE in una omotetia di centro O e rapporto +1/4.

omo1

Esercizio 2

Ricopia sul quaderno la figura, contando bene i quadretti (ad ogni quadretto sulla figura, fai corrispondere un quadretto sul quaderno).

Disegna il poligono A’B’C’D’E’, immagine di ABCDE in una omotetia di centro O e rapporto +3.

omo2

Esercizio 3

Ricopia sul quaderno la figura, contando bene i quadretti (ad ogni quadretto sulla figura, fai corrispondere un quadretto sul quaderno).

Disegna il poligono A’B’C’D’E’, immagine di ABCDE in una omotetia di centro O e rapporto -1/3.

omo3

Esercizio 4

Ricopia sul quaderno la figura, contando bene i quadretti (ad ogni quadretto sulla figura, fai corrispondere un quadretto sul quaderno).

Disegna il poligono A’B’C’D’E’, immagine di ABCDE in una omotetia di centro O e rapporto -2.

omo4

Compiti per il 9 novembre 2016, classe 2ª C

Rotazioni

Costruisci un file con GeoGebra in cui si veda un poligono (a tuo piacimento), ruotare di un angolo variabile α, di un angolo triplo di α e di un angolo ampio 5 volte α.

Per farlo, puoi cercre di ricordarti quanto abbiamo visto in classe venerdì 4 novembre, oppure guardare il seguente videotutorial.

Una volta costruito il file, modifica l’angolo o sposta il centro di rotazione per poter rispondere, sul quaderno, alle seguenti domande:

  1. Per quali valori dell’ampiezza dell’angolo α il poligono e le sue tre immagini ruotate sono tutti sovrapposti?
  2. Ci sono dei valori dell’ampiezza dell’angolo α per i quali le tre immagini del poligono sono tra loro sovrapposte senza essere sovrapposte al poligono originale? Quali?
  3. Ci sono dei valori dell’ampiezza dell’angolo α per i quali due delle tre immagini del poligono sono tra loro sovrapposte senza essere sovrapposte al poligono originale? Quali?
  4. Che cosa succede se sposti il centro di rotazione fino a farlo coincidere con uno dei vertici del poligono originale?
  5. Che cosa succede se sposti il centro di rotazione fino a farlo diventare interno al poligono originale?

Compiti per l’11 novembre 2016, classe 3ª C

Misure ISO 216 serie A

Qui di seguito sono date le dimensioni, espresse in millimetri, dei lati dei fogli di diversi formati standard, dall’A0 all’A10 (i più comunemente usati, anche dalla macchina fotocopiatrice che abbiamo a scuola, sono i formati A3 e A4).

formato dimensioni area rapporto tra le dimensioni
A0 841 × 1189    
A1 594 × 841    
A2 420 × 594    
A3 297 × 420    
A4 210 × 297    
A5 148 × 210    
A6 105 × 148    
A7 74 × 105    
A8 52 × 74    
A9 37 × 52    
A10 26 × 37    

Per ciascuno di questi formati calcola (anche aiutandoti con la calcolatrice):

  • l’area del foglio
  • il rapporto tra le due dimensioni.

Copia la tabella sul quaderno, inserendo nelle due colonne vuote i risultati dei tuoi calcoli.

Le piastrelle del palazzo di Policrate

Nel 2013 la professoressa Ornella Robutti ha pubblicato un video sul teorema di Pitagora in cui si narra, tra storia e leggenda, di “come Pitagora sia pervenuto al celebre teorema che porta il suo nome e come sia possibile dimostrarlo con un semplice ragionamento geometrico”.

Gli alunni della seconda C dell’anno scolastico 2015 / 2016 hanno guardato questo video e poi, divisi in gruppi, ne hanno preparato un remake, partendo da alcune “piastrelle” da me disegnate. Il resto è tutta farina del loro sacco. Ogni gruppo ha letto alla classe, prima di girare il video, il testo che aveva preparato, giusto per farsi dire dai compagni se fosse sufficientemente chiaro.

Io sono molto soddisfatta, forse perché mi accontento di poco…

Video scritto e girato da Beatrice Bolognato, Gianluca Costa, Riccardo Zamengo e Sara Akremi

Video scritto e girato da Amadai Primac, Giulia Semenzato e Daniel Ferro

Video scritto e girato da Fabio Cavaciocchi, Giorgia Perugini, Alvise Lamon e Valentina Gasi

Video scritto e girato da Emma Gabana, Filippo Bortolami e Dylan Polgampolage

Video scritto e girato da Gaia Gallo, Jacopo Vesco, Irene Favaretto e Jennifer Dentici

Video scritto e girato da Gabriele Pedullà, Chiara Comellato, Emma Frigo ed Erik Amurri

Tutti in festa con pi greco

Anna Cerasoli
Tutti in festa con pi greco
Editoriale Scienza, 2015
ISBN 9788873077213
pagg. 96, euro 13,90

Copertina di "Tutti in festa con pi greco"

Uno dei pregi di questo libro sta nel fatto che può essere letto a più livelli: da quello di un semplice racconto, a quelli più approfonditi, che richiedono al lettore maggiore attenzione e che in cambio danno gran coinvolgimento.

Puoi trovare informazioni riguardanti questo libro anche su:

Compiti per il 4 giugno – prima C

  1. Studia gli appunti, a proposito di altezze, ortocentro, mediane, baricentro, assi, circocentro, bisettrici e incentro di un triangolo.
  2. ostruisci questi files con GeoGebra:
    • il file cognome_nome_1c_ortocentro.ggb dovrà rappresentare un triangolo, le sue altezze e il suo ortocentro; ricordati di disegnare anche i prolungamenti dei lati del triangolo e i prolungamenti delle altezze, mettendo però in evidenza le altezze vere e proprie;
    • il file cognome_nome_1c_baricentro.ggb dovrà rappresentare un triangolo, le sue mediane e il suo baricentro;
    • il file cognome_nome_1c_circocentro.ggb dovrà rappresentare un triangolo, i suoi assi, il suo circocentro e la circonferenza ad esso circoscritta;
    • il file cognome_nome_1c_incentro.ggb dovrà rappresentare un triangolo, le sue bisettrici, il suo incentro e la circonferenza ad esso inscritta.
  3. Se non puoi o non vuoi utilizzare GeoGebra, puoi preparare gli stessi disegni su un foglio da disegno, utilizzando riga e compasso; su ciascuna tavola dovrai disegnare tre triangoli:
    • in una tavola disegnerai un triangolo acutangolo, un triangolo rettangolo e un triangolo ottusangolo, ciascuno con le sue altezze e il suo ortocentro;
    • in una tavola disegnerai un triangolo acutangolo, un triangolo rettangolo e un triangolo ottusangolo, ciascuno con le sue mediane e il suo baricentro;
    • in una tavola disegnerai un triangolo acutangolo, un triangolo rettangolo e un triangolo ottusangolo, ciascuno con i suoi assi, il suo circocentro e la circonferenza ad esso circoscritta;
    • in una tavola disegnerai un triangolo acutangolo, un triangolo rettangolo e un triangolo ottusangolo, ciascuno con le sue bisettrici, il suo incentro e la circonferenza ad esso inscritta.

Istruzioni per disegnare un triangolo e il suo ortocentro con GeoGebra

Istruzioni per disegnare un triangolo e il suo baricentro con GeoGebra

Istruzioni per disegnare un triangolo e il suo circocentro con GeoGebra

Istruzioni per disegnare un triangolo e il suo incentro con GeoGebra

Compiti per il 27 maggio – prima C

  1. Studia gli appunti, a proposito di altezze, ortocentro, mediane e baricentro di un triangolo.
  2. Anche se la consegna è prevista per giovedì 4 giugno, puoi iniziare a costruire i primi due files di GeoGebra richiesti:
    • il file cognome_nome_1c_ortocentro.ggb dovrà rappresentare un triangolo, le sue altezze e il suo ortocentro; ricordati di disegnare anche i prolungamenti dei lati del triangolo e i prolungamenti delle altezze, mettendo però in evidenza le altezze vere e proprie;
    • il file cognome_nome_1c_baricentro dovrà rappresentare un triangolo, le sue mediane e il suo baricentro.
  3. Se non puoi o non vuoi utilizzare GeoGebra, puoi preparare gli stessi disegni su un foglio da disegno, utilizzando riga e compasso; su ciascuna tavola dovrai disegnare tre triangoli:
    • in una tavola disegnerai un triangolo acutangolo, un triangolo rettangolo e un triangolo ottusangolo, ciascuno con le sue altezze e il suo ortocentro;
    • in una tavola disegnerai un triangolo acutangolo, un triangolo rettangolo e un triangolo ottusangolo, ciascuno con le sue mediane e il suo baricentro.

Istruzioni per disegnare un triangolo e il suo ortocentro con GeoGebra

Istruzioni per disegnare un triangolo e il suo baricentro con GeoGebra

Compiti per il 21 maggio – seconda C

  1. Studia gli appunti.
  2. Sul quaderno, utilizzando come unità di misura il quadretto, disegna un quadrato di area 65, un quadrato di area 72, un quadrato di area 121, un quadrato di area 144 e un quadrato di area 149.

Compiti per il 19 maggio – terza C

A pagina 163 fai l’esercizio numero 177.

Fai tutti gli esercizi di pagina 164.

A pagina 165 fai gli esercizi numero 182, 183, 184 e 186.

 

Compiti per il 25 maggio – prima C

  1. Studia gli appunti.
  2. Studia da pagina 168 a pagina 170.
  3. Disegna o fotografa oggetti reali in cui si sfrutta l’indeformabilità del triangolo per dare solidità a qualche struttura. Se riesci, puoi pubblicare direttamente le foto come commento all’articolo Il triangolo è indeformabile che ho pubblicato sul blog, con le foto di quanto fatto e visto a scuola lunedì.

Compiti per il 20 maggio – prima C

  1. Studia gli appunti.
  2. Studia da pagina 168 a pagina 170.
  3. Disegna o fotografa oggetti reali in cui si sfrutta l’indeformabilità del triangolo per dare solidità a qualche struttura. Se riesci, puoi pubblicare direttamente le foto come commento all’articolo Il triangolo è indeformabile che ho pubblicato sul blog, con le foto di quanto fatto e visto a scuola lunedì.

Compiti per il 12 maggio – terza C

  1. Studia gli appunti.
  2. Studia pagina 89 e pagina 90 (come sempre, facendo gli esercizi “Mettiti alla prova”).
  3. Studia da pagina 132 a pagina 138 (come sempre, facendo gli esercizi “Metttiti alla prova”).

Compiti per l’11 maggio – prima C

Guardando la tabella costruita nelle ultime due lezioni, trova una formula che leghi il numero delle diagonali di un poligono al numero dei suoi lati.