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Allenamento n° 4 / 2020

Quarto allenamento in vista dei Campionati

Ecco il quarto allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

La corsa delle bandierine

La corsa delle bandierine si svolge in un campo rettangolare di 80 m per 50 m.

Ogni concorrente corre da solo, partendo dal punto medio del lato AB con quattro bandierine in mano. Il suo obiettivo è piantare una bandierina su ciascuno dei lati AD, DC e CB, in questo ordine, e l’ultima bandierina sul vertice A.

Dove dovrebbe attaccare le bandierine un concorrente per rendere il proprio percorso più breve possibile?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios 4. Problemas e histórias da matemática no público, edições Afrontamento, 1995)

Risposte al terzo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto quattro risposte corrette al problema “Send more money“, questa volta da tre ragazze e un ragazzo, tutti di prima e seconda media.

Le lettere del messaggio cifrato corrispondono ai numeri in questo modo:
S=9
E=5
N=6
D=7
M=1
O=0
R=8
Y=2
Quindi, per accontentare harry, Elisabeth dovrà madargli 10 652 dollari canadesi; l’auto usata che Harry vuole comprarsi costa 9 567 dollari canadesi e il treno di gomme invernali costa 1085.

Solo una ragazza mi ha spiegato per benino come ha fatto a trovare la risposta e il suo lavoro mette in evidenza alcuni tentativi, ma anche tanto ragionamento.

Ad esempio: la lettera M non può che corrispondere al numero 1 perchè la somma di due numeri (ad una cifra) non può essere maggiore o uguale a 20 (ossia deve essere minore o uguale a 19 e quindi, se è un numero di due cifre, la cifra delle decine è sicuramente 1): questo implica che quando faccio S+M (ed eventualmente ci aggiungo un riporto che al massimo è 1), essendo S e M al massimo 8 e 9 comunque arrivo ad un numero che come cifra delle decine ha 1.

Ma adesso, S+1 (più un eventuale riporto al massimo di 1) deve dare un numero che come cifra delle decine ha 1 e come cifra delle unità ha O.
Se S fosse 9 e ci fosse il riporto di 1, verrebbe O=1 il che non può essere perchè già M è 1.
Se S fosse 9, e non ci fosse riporto, verrebbe O=0.
Se S fosse 8 e ci fosse il riporto di 1, verrebbe O=0.
Se S fosse 8 e non ci fosse il riporto, non funziona perché la somma sarebbe di una cifra sola.
Quindi siamo certi che O=0.

I ragionamenti di Ambra non si fermano qui, ma… forse è meglio se ciascuno di voi prova ad andare avanti da solo, non pensate?

Che cosa abbiamo imparato?

Giada, Gioia, Ambra e Christian, che sono riusciti a risolvere questo problema, forse non sono riusciti ad imparare niente di nuovo. Chi ci ha provato e non ce l’ha fatta, potrebbe trarre ispirazione dalla seguente riflessione (parto da 6, perché 5 cose le abbiamo già imparate commentando i primi due allenamenti).

6. Tentativi e ragionamenti devono andare a braccetto

Molto spesso siamo convinti che per risolvere un problema di matematica si debba cercare l’operazione da fare, farla e dare la risposta.
Spesso non è così: spesso bisogna provare, fare dei tentativi, verificare se funzionano.
Ora, nella maggior parte dei casi – fortunatamente – abbiamo la possibilità di accompagnare le nostre prove con dei ragionamenti, che ci consentono di limitare il numero di tentativi da fare. Ragionare e provare non sono due strade alternative, ma sono due modi di agire che possono l’uno accompagnare l’altro di continuo.

Come dire: non dobbiamo avere paura di fare dei tentativi, ma possiamo anche cercare di capire sempre se un tentativo che ci viene in mente può essere escluso a priori con qualche ragionamento.

 

Allenamento n° 3 / 2020

Terzo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il terzo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Send more money

Harry, ormai adulto, sposato e con figli, è andato a vivere in Canada, lontano dalla sua famiglia di origine.
Sua nonna Elizabeth è molto ricca e lui sa, come tutti i nipoti, di poter contare su di lei, quando ha bisogno di qualcosa.
Il problema è che Harry non può mostrare in pubblico di aver ancora bisogno della “mancetta” della nonna, e soprattutto la nonna non può mostrare in pubblico di accondiscendere alle richieste del nipote. Sono quindi d’accordo di usare un linguaggio in codice, per mandarsi messaggi cifrati, quando Harry ha bisogno di soldi. La regola di questo messaggio in codice è questa: ogni lettera rappresenta una cifra; a lettera uguale corrisponde cifra uguale e a lettere diverse corrispondono cifre diverse.
Harry decide di comprarsi un’automobile usata, ma in ottime condizioni. Ha bisogno, visto il clima rigido del Canada, anche di un treno di gomme invernali.
Ricevuto il conto dal concessionario, lo manda alla nonna, usando il loro linguaggio in codice. Peccato che comunque si capisca che c’è qualcuno in famiglia che ha bisogno di soldi…
Ad ogni modo, quanti dollari canadesi dovrà mandare Elisabeth a Harry per accontentarlo? Quanto costa l’auto usata che Harry vuole comprarsi? Quanto il treno di gomme invernali?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

Risposte al secondo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto tre risposte corrette al problema “Il disco della libertà“, da tre ragazze. Ragazzi, dove siete?

Siccome io sono decisamente pigra, e siccome loro hanno fatto decisamente un ottimo lavoro, copio-incollo qui di seguito le loro soluzioni:

“Ecco come sono andate le cose: il primo carcerato ragiona sulle affermazioni degli altri due e capisce che il terzo carcerato vede sulla sua schiena (quella del primo) e su quella del secondo o due dischi gialli o un disco giallo e uno nero. Il terzo carcerato quindi non potrà mai rispondere con sicurezza, perché il suo disco potrebbe essere di entrambi i colori. Il secondo carcerato, invece, vede sulla schiena del primo un disco giallo e capisce dalla frase del terzo carcerato che sulla sua schiena ( quella del secondo) e su quella del primo ci sono o due dischi gialli o un disco giallo e uno nero, ma visto che vede il disco di colore giallo attaccato alla schiena del primo carcerato, non riuscirà mai a capire se sulla sua schiena c’è un disco giallo o nero. Il primo carcerato quindi, intende subito che sulla sua schiena c’è un disco giallo perché dalle affermazioni degli altri due si capisce che tra i carcerati c’è almeno un disco giallo e se non ne sono sicuri, significa che il disco giallo non appartiene né al secondo né al terzo carcerato. Quindi il primo carcerato riesce a liberarsi perché, grazie alle affermazioni degli altri due, capisce che sulla sua schiena c’è un disco giallo.”
(Giada, seconda D)

“Ecco come secondo me sono andate le cose: Il terzo carcerato ha detto per primo che non poteva indovinare di che colore fosse il suo cartello e così facendo ha fatto capire che gli altri 2 non potevano avere entrambi un cartello nero (unico caso in cui il terzo carcerato avrebbe potuto sapere con certezza il colore del suo cartello cioè in quel caso giallo). Dopo il terzo anche il secondo carcerato ha detto che non poteva indovinare di che colore era il suo cartello. A questo punto il primo carcerato ha capito che il suo cartello non poteva che essere giallo perché se fosse stato nero, in base a quello che aveva fatto capire il terzo carcerato, il secondo carcerato avrebbe indovinato di che colore era il suo cartello che in quel caso sarebbe stato giallo.”
(Gioia, prima A)

(Ambra, seconda C)

Tutto chiaro, no?

Che cosa abbiamo imparato?

Giada, Gioia e Ambra, che sono riuscite a risolvere questo problema, forse non sono riuscite ad imparare niente di nuovo. Chi ci ha provato e non ce l’ha fatta, potrebbe trarre ispirazione dalle seguenti riflessioni (parto da 4, perché 3 cose le abbiamo già imparate quando abbiamo commentato qui il primo allenamento).

4. Esistono giochi matematici senza numeri e senza calcoli

Una delle obiezioni che spesso mi sento fare quando propongo a tutti di partecipare ai giochi matematici è questa: “Ma io non sono veloce a fare i calcoli!”. Orbene, esistono gare matematica anche di velocità nel calcolo (ad esempio il Campionato italiano di calcolo mentale, che quest’anno si svolgerà a Udine il 21 marzo 2020), ma sono un’altra cosa. Non che un po’ di confidenza con i numeri non serva, ma ci sono tanti giochi in cui non è affatto indispensabile.

5. Qualche volta può essere utile ragionare “per assurdo”, ossia fare finta

Se avete letto le spiegazioni delle vostre compagne, vi sarete accorti che hanno ragionato parecchio.
Partiamo dal terzo carcerato, che dice di non poter sapere di che colore è il disco sulla sua schiena.
Com’è che Giada, Gioia e Ambra da qui capiscono che sulla schiena del primo e del secondo ci sono o due dischi gialli oppure un disco giallo e uno nero?
Perché se fossero due dischi neri (essendoci all’inizio solamente due dischi neri disponibili), il terzo avrebbe potuto capire, vedendoli, che sulla sua schiena c’era un disco giallo.
Questo è il tipico ragionamento che i matematici chiamano “per assurdo”: facciamo finta per un attimo che succeda una cosa (in questo caso: che i dischi del primo e del secondo siano entrambi neri); ti mostro che allora succederebbe una cosa che in realtà non succede, non può succedere, o è assurdo che succeda (in questo caso: il terzo avrebbe capito che il suo disco era giallo).
Qualche volta è difficile dimostrare direttamente che accade una cosa ed è più facile dimostrare che è impossibile il suo contrario!

Allenamento n° 2 / 2020

Secondo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il secondo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Il disco della libertà

A tre carcerati vengono mostrati cinque dischi: tre gialli e due neri.

I tre carcerati sono disposti in “fila indiana”, cosìcché il terzo può vedere le schiene degli altri due, il secondo può vedere la schiena del primo e il primo non vede la schiena di nessuno.

Tre dischi vengono attaccati sulle schiene dei carcerati e i rimanenti due vengono nascosti dalla loro vista.

Le guardie promettono di liberare il carcerato che più velocemente degli altri indovina il colore del disco attaccato alla propria schiena. Il primo carcerato, che non vede nulla, sta per farsi prendere dalla disperazione, quando improvvisamente il terzo carcerato dice: “Io non posso sapere di che colore è il disco sulla mia schiena”.
A quel punto, il secondo carcerato dice: “Nemmeno io.”
Sentite le affermazioni degli altri due, il primo carcerato, esultante, dice: “Sulla mia schiena è attaccato un disco giallo!”. E viene liberato.

Come sono andate le cose?

(liberamente tratto da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

Risposte al primo allenamento in vista dei Campionati

Ho ricevuto sette risposte al problema “Le lancette dell’orologio“, il primo allenamento on-line di quest’anno: un po’ pochine visto che già in 17 mi avete chiesto di iscrivervi ai Campionati! Riuscite a coinvolgere qualche altro giocatore?
Vi dico subito che tutte le risposte che ho ricevuto sono diverse dalla risposta che l’autore del gioco ha previsto, e che anche io condivido.

Una ragazza ha confuso “minuti” con “secondi”, probabilmente, e ha detto che una lancetta supera l’altra 719 volte tra mezzogiorno e mezzanotte. Avrebbe potuto leggere con più attenzione il testo, ma sicuramente, per la pazienza dimostrata, merita un encomio (che non è una brutta cosa: se non sapete cos’è, andate a cercare sul dizionario) .

Cinque di voi hanno risposto che la lancetta dei minuti supera quella delle ore 12 volte tra mezzogiorno e mezzanotte. In un certo senso avete ragione: le due lancette sono sovrapposte 12 volte in questo lasso di tempo.

Nelle immagini qui sopra, la lancetta dei secondi non è al posto giusto e gli orari indicati sono arrotondati ai minuti. Arrotondando ai secondi gli orari in cui le lancette si sovrappongono diventano le 12:00:00, le 13:05:27, le 14:10:55, le 15:16:22, le 16:21:49, le 17:27:16, le 06:32:44, le 19:38:11, le 20:43:38, le 21:49:05, le 22:54:33 e infine le 24:00:00 (ma sono comunque, tranne che nel primo e nell’ultimo caso, degli arrotondamenti, quindi… poco importa stare a calcolare anche le frazioni di secondo).

La questione però è che il gioco non chiedeva quante volte le lancette sono sovrapposte, ma quante volte avviene il sorpasso. E il sorpasso prevede che prima la lancetta dei minuti stia “dietro” quella delle ore, poi la raggiunga e subito dopo stia “davanti”. Ora: se inizio a guardare l’orologio a mezzogiorno, non vedo un sorpasso, perché non vedo il “prima”; e se smetto di guardare l’orologio a mezzanotte, non vedo un sorpasso, perché non vedo il “dopo”.

Immagino che l’unico di voi che ha risposto che la lancetta dei minuti supera 11 volte quella delle ore abbia escluso o mezzogiorno o mezzanotte dal conteggio, non accorgendosi che l’altra situazione era analoga.

Ad ogni modo, direi che come riscaldamento non è stato niente male: bravi!

Che cosa abbiamo imparato?

Conoscere la risposta a questo quesito difficilmente ci basterà, se non ne traiamo qualche insegnamento più “generale”, nel senso che difficilmente troveremo un quesito proprio uguale (o quasi) a questo.

Provo a scrivere qui sotto le cose che a me sono venute in mente leggendo le vostre risposte (e quelle di alcune persone adulte alle quali ho proposto questo stesso gioco).

1. Non è vero che i giochi debbano essere per forza complicati!

Ho l’impressione che chi ha risposto 719, e quindi ha letto “minuti” e ha inteso “secondi”, non abbia semplicemente sbagliato a leggere, ma (inconsciamente) abbia pensato che contare i sorpassi della lancetta dei minuti fosse troppo banale come richiesta per un gioco matematico!
Spesso i giochi sono meno complicati di quello che pensiamo, soprattutto i primi quesiti nei Campionati internazionali sono proprio semplici: non complicatevi la vita!

2. Un testo verbale è sempre un po’ ambiguo: riflettiamo sui significati delle parole!

Gli autori dei testi dei problemi di matematica spesso devono scegliere tra il non dare nulla per scontato, formulando testi lunghi e pesanti da leggere, e lo scrivere testi un po’ più leggeri, dove però alcune cose sono lasciate all’interpretazione del lettore. In questo caso, per esempio, non si dice se le lancette dell’orologio si muovono a scatti oppure di un movimento continuo (ma forse questo non è importante per trovare la risposta al problema). Inoltre non si spiega che cosa si intende per “superare”: anche alcuni professori di matematica che hanno fatto questo gioco hanno risposto, come la maggior parte di voi, “12 volte”. Purtroppo, durante le competizioni non abbiamo a disposizione il vocabolario di italiano (che, comunque, non sempre riuscirebbe a dirimere la questione fino in fondo).

3. I “casi limite” spesso sono casi particolari.

Spesso si tratta di studiare una situazione entro dei limiti definiti. Non sempre le situazioni “al limite” sono diverse da quella generale, ma qualche volta (come in questo caso) sì: meglio starci particolarmente attenti!

Allenamento n° 1 / 2020

Primo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il primo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago che desiderano allenarsi per la semifinale dei Campionati Internazionali di Giochi Matematici. Aspetto le vostre risposte: potete consegnarmele a scuola, su un foglietto, o inviarmele per posta elettronica all’indirizzo

sofia.sabatti@comprensivocolombo.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)! Non dimenticatevi di indicarmi anche il vostro nome e il vostro cognome.

Le lancette dell’orologio

Da mezzogiorno a mezzanotte (dello stesso giorno), quante volte la lancetta dei minuti supera quella delle ore?

(da Eduardo Veloso e Josè Paulo Viana, Desafios. Un ano de problemas no público, edições Afrontamento, 1991)

 

 

Dalle mani alle idee

Materiale per il corso “Il laboratorio di matematica: dalle mani alle idee”

Padova, 12 e 14 giugno 2019

Istituto comprensivo “Tartini”, corso per 37 maestre di scuola primaria

La presentazione

Presentazione introduttiva al corso tento a Padova il 12 e il 14 giugno
Titolo: Il laboratorio di matematica: dalle mani alle idee (0 click)
Etichetta: Presentazione introduttiva al corso tento a Padova il 12 e il 14 giugno
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Il laboratorio

Il laboratorio è incominciato con il taglio di tre nastri, che avevo precedentemente preparato.

Un nastro verde, un nastro arancio e un nastro rosso.

Il nastro verde è stato ottenuto da un paio di metri di carta presa da un rotolino di una calcolatrice: le due estremità di questa striscia di carta sono state incollate una sull’altra, senza torsioni (un anello, per intenderci).

Il nastro arancio è stato ottenuto da un paio di metri di carta presa da un rotolino di una calcolatrice: le due estremità di questa striscia di carta sono state incollate una sull’altra, dopo che una di esse aveva subito una mezza torsione (un nastro di Möbius, per intenderci).

Il nastro rosso è stato ottenuto da un paio di metri di carta presa da un rotolino di una calcolatrice: le due estremità di questa striscia di carta sono state incollate una sull’altra, dopo che una di esse aveva subito due mezze torsioni.

Le maestre presenti non mi avevano viste costruire i nastri che, essendo lunghetti, tendevano ad attorcigliarsi su sè stessi: non si notavano differenze se non nel colore.

Ho chiesto a tre volontarie di tagliare questi tre nastri con un taglio parallelo ai bordi della striscia di carta.

Poi in gruppo, le maestre hanno affrontati i problemi seguenti.

Tra un problema e l’altro, abbiamo dedicato del tempo a confrontare le risposte date dai vari gruppi.

Il nastro di Moebius ha una sola faccia: ce ne accorgiamo immaginando di camminarci sopra

Il taglio del nastro

Primo problema per il laboratorio
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Etichetta: Primo problema per il laboratorio "Dalle mani alle idee"
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I bordi

Secondo problema per il laboratorio
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Piega e spiega

Terzo problema per il laboratorio
Titolo: Piega e spiega (0 click)
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Il gioco dell’isola

Quarto problema per il laboratorio
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Immaginare a occhi chiusi, costruire a occhi aperti

Quinto problema per il laboratorio
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Esercizi per chi va in terza

Esercizio 1

Ricopia sul quaderno la figura erispondi in forma completa alle domande.

Esercizio 2

Ricopia sul quaderno la figura erispondi in forma completa alle domande.

Esercizio 3

Ricopia sul quaderno la figura erispondi in forma completa alle domande.

Esercizio 4

Ricopia sul quaderno la figura erispondi in forma completa alle domande.

Esercizio 5

Calcola il valore delle seguenti espressioni:

Esercizio 6

Calcola le seguenti radici di frazioni

 

Esercizi per chi va in seconda

Esercizio 1

Copia sul quaderno e risolvi le seguenti espressioni:

Esercizio 2

Copia sul quaderno e risolvi le seguenti espressioni:

Esercizio 3

Con il metodo delle divisioni successive trova il massimo comun divisore tra le seguenti coppie di numeri:

Esercizio 4

Con il metodo della scomposizione in fattori primi, calcola il minino comune multiplo tra le seguenti coppie di numeri:

Esercizio 5

Trascrivi le seguenti frazioni improprie sul quaderno e scrivile come somma di un numero naturale e una frazione propria:

Esercizio 6

Trascrivi le seguenti addizioni sul quaderno e trovane la somma espressa attraverso una frazione impropria.

DNA e dintorni

Compiti di Scienze per la classe terza C (estate 2019)

Guarda con attenzione i seguenti video, il primo molto breve, il secondo ben più lungo…

DNA, RNA e proteine

Ulisse, il piacere della scoperta. Le sorpese del DNA

Attenzione: per vedere questo video dovrai registrarti, insieme ad una persona adulta, al sito Rai Play. Se tu non riuscissi a registrarti alla piattaforma Rai Play, salta questo video e guardane 4 di quelli proposti più sotto (altrimenti puoi guardarne solo due).

Nell’articolo Video a proposito di DNA ne trovi proposti altri, in Inglese. Guardane almeno due a tua scelta anche di quelli, sempre con tanta tanta attenzione.

 

Parole a scuola Young

Parole a scuola Young

Prendiamo le misure al cyberbullismo

Virtuale è reale - Prendiamo le misure al cyberbullismo
Titolo: Scheda didattica N. 35 (0 click)
Etichetta: Virtuale è reale - Prendiamo le misure al cyberbullismo
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Mai più un banco vuoto

Il manifesto della comunicazione non ostile

Manifesto della comunicazione non ostile
Titolo: Parole non ostili (0 click)
Etichetta: Manifesto della comunicazione non ostile
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Compiti 2ªC 28-05-19

Omotetie con GeoGebra

Il compito consiste nella costruzione di un file con GeoGebra e nel rispondere ad alcune domande, in forma scritta. (Puoi scrivere le tue risposte in forma completa sul quaderno, o su un file che stamperai o mi farai avere; se hai un dito che ti fa male al punto da non riuscire a scrivere né a mano, nè con il computer, registra un file audio e inviamelo!)

Ricordati della regola che ci siamo dati per i nomi dei files: in questo caso dovrà essere
cognome_2c_omotetia.ggb

Costruisci un file di GeoGebrea per studiare le omotetie, utilizzando gli strumenti Slider e Omotetia

Osservare le figure omotetiche

Con lo strumento Poligono disegna un pentagono.
Con lo strumento Punto disegna un punto esterno al pentagono e chiamalo O.
Seleziona il comando Slider. Fai click in un punto qualunque della vista grafica. Ti comparirà una finestra di controllo in cui dovrai selezionare la voce Numero, scegliere come nome k e come intervallo da -4 a +4, lasciando come incremento 0,1. Dopo aver cliccato su Applica, ti compare nella vista grafica una linea con un punto. Selezionando lo strumento Muovi puoi trascinare questo punto sulla linea; trascinandolo, cambia il valore del numero k. Muovi il punto dello slider fino ad ottenere k = 2.

Seleziona lo strumento Omotetia, poi seleziona il poligono, il punto O e (nella finestrella che ti chiede il Rapporto) digita k (proprio la stessa lettera che hai scelto prima), infine clicca su OK.

A questo punto Geogebra ti ha disegnato il pentagono che è il trasformato del tuo tramite l’omotetia di centro O e di rapporto k = 2.
Ma se adesso selezioni il comando Muovi e trascini il punto sullo slider, cambia il rapporto dell’omotetia e di conseguenza la figura creata. Funziona?

Domande

Esiste un valore di k per il quale la figura trasformata coincide con la figura originale? Se sì, che valore è?
Esiste un valore di k per il quale la figura trasformata si riduce ad un punto? Se sì, che valore é?
Per quali valori di k la figura trasformata è più piccola dell’originale?
Per quali valori di k la figura trasformata è più grande dell’originale?
Per quali valori di k la figura trasformata è congruente all’originale?

Con lo strumento Muovi trascina il punto O dentro il pentagono. Poi fai variare il valore di k trascinando il punto sullo slider.

Possiamo dire che ciascun lato della figura trasformata è perpendicolare al lato corrispondente nella figura originale?
Possiamo dire che ciascun lato della figura trasformata è parallelo al lato corrispondente nella figura originale?

Bilanciamento di reazioni chimiche

Reagenti, prodotti, atomi coinvolti in una reazione chimica

La simulazione che trovi qui sotto è tratta dal sito “PhET Interactive simulation” della University of Colorado.

Per ogni reazione chimica che affronti, osserva bene:

  • quali sono le molecole reagenti?
  • quali sono le molecole prodotte?
  • quali atomi (e quanti di ogni tipo) sono coinvolti nella reazione?

Il tiramisù di Enrico

Ingredienti (per 10 porzioni) – Ingredients (for 10 servings)

5 tuorli d’uovo – 5 egg yolks
10 cucchiai di zucchero – 10 tablespoons of sugar
500 g di mascarpone – 500 g of mascarpone
2 cucchiai di caffè forte – 2 tablespoons of strong coffee
2 cucchiai di wiskey – 2 tablespoons of wiskey
caffè caldo in abbondanza – plenty of hot coffee
40 biscotti tipo “petit beurre” – 40 “petit beurre” type cookies
nutella – Nutella
cacao amaro (oppure cioccolato) – bitter cocoa (or chocolate)

Per la crema – For the custard

Sbattere i tuorli d’uovo con lo zucchero.
Quando si è formata una crema spumosa, aggiungere il mascarpone a cucchiaiate, mescolando bene per evitare grumi.
Aggiungere due cucchiai di caffè forte (facendolo con la moka, basta prendere il primo caffè che si forma, il più denso). Sbattere.
Aggiungere due cucchiai di wiskey. Sbattere.

Mix the egg yolks with the sugar. Whisk.
When a frothy custard has formed, add the mascarpone in spoonfuls, stirring well to avoid lumps.
Add two tablespoons of strong coffee (making it with the moka, just take the first coffee that rises, the thickest). Whisk.
Add two tablespoons of wiskey. Whisk.

Per formare il Tiramisù – To form the Tiramisù

Spalmare un biscotto con la nutella e ricoprire con un altro biscotto. Fare 20 coppie di biscotti.
Immergere una coppia di biscotti nel caffè (giusto il tempo di bagnarla su ciascun lato) e poi riporla nella ciotolina. Ricoprire di crema. Immergere un’altra coppia di biscotti nel caffè e riporre anche questa nella ciotolina. Ricoprire con un secondo strato di crema.
Cospargere con cacao amaro o con scagliette di cioccolato (io uso il cacao amaro, ma Alvise non lo apprezza, quindi le porzioni per lui le copro con scagliette di cioccolato).
Lasciare riposare in frigorifero per almeno due ore. Servire freddo.

Spread a biscuit with Nutella and cover with another biscuit. Make 20 pairs of cookies.
Dip a pair of biscuits in the coffee (just enough time to wet it on each side) and then place it in the bowl. Cover with custard. Dip another pair of biscuits in the coffee and place it in the bowl. Cover with a second layer of custard.
Sprinkle with bitter cocoa or chocolate chips (I use bitter cocoa, but Alvise doesn’t like it, so I cover it with chocolate chips for him).
Leave to rest in the refrigerator for at least two hours. Serve cold.

Ricerca del MCD

Ricerca del MCD con il metodo di Euclide delle divisioni successive

Cercare il massimo comun divisore (MCD) tra due numeri naturali è cercare il più grande numero naturale che è sottomultiplo sia del primo che del secondo numero.
Fin qui non abbiamo detto nulla rispetto a come fare per trovare il MCD: abbiamo semplicemente ridetto la stessa cosa con parole leggermente diverse, che forse ci possono far capire meglio come sia venuta ad Euclide l’idea di procedere per divisioni successive.

Immaginiamo di voler preparare due passatoie, ossia due tappeti lunghi e stretti, di una lunghezza prefissata, a partire da dei pezzi rettangolari, tutti uguali tra loro e il più lunghi possibile.

Possiamo trovarci in tante situazioni diverse che, come vedremo, possono però essere ricondotte tutte ad un unico “modello”.

Quando il MCD è il più piccolo dei due numeri

Può succedere che se prendiamo un pezzo lungo esattamente come il tappeto più corto, questo “ci stia” un numero esatto di volte in quello più lungo.

In questo caso basterà fare dei pezzi tutti uguali al secondo tappeto: il secondo tappeto sarà allora formato da un unico pezzo e quello lungo da un certo numero di pezzi uguali al secondo.

Con i numeri la situazione è analoga.

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (18 ; 6). Se mi accorgo subito che 18 è un multiplo di 6, allora subito posso dire che 
MCD (18 ; 6) = 6.
Se non mi accorgo (perché magari i numeri sono più grandi), mi basta provare a fare la divisione tra il più grande dei due numeri e quello più piccolo: se il resto della divisione è 0, significa che il più piccolo dei due numeri è già il MCD tra i due numeri dati.

Esempi

Quando basta un ulteriore passettino

Un pezzo lungo come il tappeto più corto, però, potrebbe anche non starci un numero esatto di volte in quello più lungo. In questo caso dobbiamo un po’ ragionare per capire che cosa fare.

Se siamo fortunati, la parte che avanza al tappeto più lungo dopo aver accostato tanti pezzi lunghi come il tappeto più corto, ci sta un numero intero di volte nel tappeto più corto (e quindi anche in quello più lungo): avremo così trovato quanto cercavamo.

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (14 ; 6).
6 non è un divisore di 14: il 6 nel 14 ci sta 2 volte, ma poi ho il resto di 2.
Sono fortunato perchè questo resto (2) divide esattamente il 6 e quindi
MCD (14 ; 6) = 2

Esempi

Un caso particolare

Un caso particolare molto semplice è quello che si presenta quando il resto della divisione tra il numero più grande e quello più piccolo è 1, ossia quando i due numeri sono uno il successivo dell’altro.

In questo caso è ovvio che il massimo comun divisore tra i due sarà proprio 1.

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (7 ; 6).
6 non è un divisore di 7: il 6 nel 7 ci sta 1 volte, ma poi ho il resto di 1.
Ovviamente questo resto (1) divide esattamente anche il 7 e quindi
MCD (7 ; 6) = 1

Ma senza fare alcun calcolo, se abbiamo capito il senso di quello che stiamo facendo, potremo dire che

MCD (567 ; 566) = 1

MCD (45678 ; 45679) = 1

MCD (123456 ; 123457) = 1

Quando bisogna armarsi di pazienza

Potrebbe anche succedere che un pezzo lungo come il “resto” della divisione tra il tappeto più lungo e quello più corto, però, non stia un numero esatto di volte in quello più corto (e quindi nemmeno un quello più lungo). In questo caso però possiamo continuare a ripetere lo stesso procedimento, fino a quando non troveremo un “resto” che divide esattamente il pezzo più corto fino ad allora considerato: quel pezzo sarà quello cercato.

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (16 ; 6).
6 non è un divisore di 16: il 6 nel 16 ci sta 2 volte, ma poi ho il resto di 4.
E 4 non è un divisore di 6: il 4 nel 6 ci sta 1 volta, ma poi ho il resto di 2.
Questo resto (2), però, divide esattamente il 4, il 6 e il 16 e quindi possiamo dire che
MCD (16 ; 6) = 2

Esempio

Allenamento n° 5 / 2019

Risposte al quarto allenamento

Il quarto allenamento ha ricevuto risposta esatta da parte di Emanuele Giada, Morena Merkohitaj e Chiara Cattelan: bravi!

Il 16 marzo si avvicina, quindi proporrei di intensificare i giochi; pubblicheremo il sesto già mercoledì 6 marzo: non perdetevelo!

Quinto allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”. Ma soprattutto, non pensiate che per trovare la soluzione a questo quesito si debbano conoscere chissà quali formule: un po’ di spirito di osservazione è più che sufficiente!

Esagoni

I due esagoni in figura sono regolari e ciascuno di essi ha area 6. Quanto misura l’area dell’intero rettangolo?Se l'area di ciascun rettangolo è 6, quanto misura l'area del rettangolo? Da un puzzle di Catriona Shearer

Allenamento n° 4 / 2019

Risposte al terzo allenamento

Il terzo allenamento ha ricevuto qualche risposta in più rispetto ai precedenti; quelle esatte, per ora, sono le soluzioni date da Tommaso Seno, Emanuele Giada, Morena Merkohitaj e Chiara Cattelan: bravi!
Il 16 marzo si avvicina, quindi non c’è tempo per le chiacchiere, ma solo per il prossimo gioco: buon divertimento!

Quarto allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”…

Un quadrato vagante…

Il diametro della circonferenza di centro A misura 10 cm.

Sapendo che ABCD è un quadrato, sai dire qual è l’area del quadrato colorato in viola, le cui diagonali si incontrano nel punto A?

Un quadrato ha il proprio centro coincidente con quello di una circonferenza e sembra vagare dentro di essa...

Allenamento n° 3 / 2019

Risposte al secondo allenamento

Anche al secondo allenamento hanno risposto in pochi. Solo Chiara Cattelan ha risposto in maniera corretta, il che non è un problema: era parecchio tosto! Grazie anche a Morena (che ha trovato 3 rombi con le caratteristiche richieste), Emanuele (che ne ha trovati due) e Maria (che ne ha trovato uno). A scuola proverò a darvi qualche suggerimento per aiutarvi a cercare anche gli altri! 
Ma adesso è arrivato il momento del terzo gioco!

Terzo allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”…

Grattacieli

Un quartiere della città di New York è stato rappresentato con una griglia 4×4.
Griglia viota 4x4 per il gioco dei grattacieli
Ogni casella della griglia contiene un grattacielo di 10, 20, 30 o 40 piani. I grattacieli sono simboleggiati da un numero (corrispondente ai suoi piani) scritto nella casellina in cui esso si trova.
Ad esempio, questo potrebbe essere un quartiere con i grattacieli posizionati:
Esempio di grattacieli distribuiti in una griglia 4x4
Come potete notare, i grattacieli in una stessa riga sono sempre tutti di taglia differente; ad esempio:
riga di grattacieli (esempio per un gioco matematico)
Anche i grattacieli in una stessa colonna sono sempre tutti di taglia differente:
colonna di grattacieli (esempio per un gioco matematico)
Ai bordi della griglia vengono forniti alcuni indizi; ogni indizio rappresenta il numero di grattacieli visibili sulla griglia corrispondente da un osservatore posto nella posizione in cui si trova l’informazione.
Vediamo questo esempio:
Riga di una griglia del gioco dei grattacieli completa con indizi
Un osservatore posto a sinistra della riga vedrà tre grattacieli: quello di 10 piani, quello di 20 piani e quello di 40 piani (mentre quello di 30 piani è nascosto alla vista di questo osservatore dal grattacielo di 40 piani, più alto).
Un osservatore posto a destra della riga vedrà 2 grattacieli: quello di 30 piani e quallo di 40 piani (gli altri due sono nascosti alla vista di questo osservatore).

Ti viene fornita una griglia vuota: tu devi trovare l’altezza dei 16 grattacieli della griglia, tenendo presenti le regole fin qui presentate e gli indizi che ti vengono forniti sul bordo della griglia.

Attenzione: la griglia qui sotto è stata corretta oggi, lunedì 18 febbraio 2019 (modificata rispetto a quella che avevo caricato sabato 16 febbraio 2019), perché mi è stato segnalato un errore. Grazie, Morena!

Gioco dei grattacieli (facile): griglia da completare (corretta)

Buon divertimento!

Allenamento n° 2 / 2019

Risposte al primo allenamento

Poche ma buone, come si suol dire, le risposte che ho ricevuto al gioco del primo allenamento: hanno risposto correttamente Emanuele Giada (della classe prima D), Chiara Cattelan (della classe terza B) e Morena Merkohitaj.
Ora non c’è tempo da perdere: ecco il secondo gioco!

Secondo allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”…

Rombi

segmenti lunghi 5 quadrettiSe non lo sai, ti dico io che i segmenti che puoi disegnare, su carta a quadretti, che abbiano gli estremi negli incroci della quadrettatura e che siano lunghi 5 quadretti sono essenzialmente di due tipi:

  • quelli che seguono le linee della quadrettatura
  • quelli che sono ipotenusa di un triangolo rettangolo con un cateto lungo esattamente 3 quadretti e l’altro cateto lungo esattamente 4 quadretti.

Ciò premesso: disegna – su carta a quadretti – tutti i possibili rombi, diversi tra loro, che abbiano i vertici negli incroci della quadrettatura e i lati lunghi 5 quadretti (dove per rombo si intende un qualsiasi quadrilatero con i quattro lati uguali tra loro).

 

Allenamento n° 1 / 2019

Primo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il primo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Somme

Scrivi in ciascuno dei dischi della figura uno dei numeri interi da 1 a 9. Il numero che vedi già scritto all’interno di ognuno degli otto piccoli “triangoli” è la somma dei tre numeri da scrivere nei dischi posti nei suoi vertici.

N.B. Lo schema qui sotto non è interattivo: copiatelo su un foglietto e poi invia la tua soluzione, o fotografando il foglietto, o trovando un modo per spiegare dove ai messo i numeri. Ce la puoi fare!

schema in cui inserire dei numeri, date le loro somme

 

Allenamento n° 5 / 2018

Quinto allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il quinto allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Il gioco è tratto dal secondo numero della rivista PRISMA Matematica, giochi, idee sul mondo.

Una volta su tre

Carla mente una volta ogni tre frasi; le altre volte dice la vrità (dopo aver mentito, dice due volte la verità, e poi mente di nuovo).

Può cominciare mentendo oppure dicendo la verità una sola volta o due volte prima di mentire.

Adesso carla pensa a un numero intero naturale di due cifre e successivamente pronuncia le seguenti frasi:

  • “Una delle cifre del numero è 2”;
  • “Il numero è più grande di 57”;
  • “Il numero è pari”;
  • “Il numero è più piccolo di 31”;
  • “Il numero è multiplo di 6”;
  • “Una delle cifre del numero è 4”.

Qual è il numero pensato da Carla?

Allenamento n° 4 / 2018

Quarto allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il quarto allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Il gioco è tratto dal secondo numero della rivista PRISMA Matematica, giochi, idee sul mondo.

I numeri porta fortuna

Due numeri interi positivi conscutivi sono tali che la somma delle cifre di ognuno di loro è un multiplo di 13.

Qual è il più grande di questi numeri, sapendo che è più piccolo di 55555?