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Bilanciamento di reazioni chimiche

Reagenti, prodotti, atomi coinvolti in una reazione chimica

La simulazione che trovi qui sotto è tratta dal sito “PhET Interactive simulation” della University of Colorado.

Per ogni reazione chimica che affronti, osserva bene:

  • quali sono le molecole reagenti?
  • quali sono le molecole prodotte?
  • quali atomi (e quanti di ogni tipo) sono coinvolti nella reazione?

Il tiramisù di Enrico

Ingredienti (per 10 porzioni) – Ingredients (for 10 servings)

5 tuorli d’uovo – 5 egg yolks
10 cucchiai di zucchero – 10 tablespoons of sugar
500 g di mascarpone – 500 g of mascarpone
2 cucchiai di caffè forte – 2 tablespoons of strong coffee
2 cucchiai di wiskey – 2 tablespoons of wiskey
caffè caldo in abbondanza – plenty of hot coffee
40 biscotti tipo “petit beurre” – 40 “petit beurre” type cookies
nutella – Nutella
cacao amaro (oppure cioccolato) – bitter cocoa (or chocolate)

Per la crema – For the custard

Sbattere i tuorli d’uovo con lo zucchero.
Quando si è formata una crema spumosa, aggiungere il mascarpone a cucchiaiate, mescolando bene per evitare grumi.
Aggiungere due cucchiai di caffè forte (facendolo con la moka, basta prendere il primo caffè che si forma, il più denso). Sbattere.
Aggiungere due cucchiai di wiskey. Sbattere.

Mix the egg yolks with the sugar. Whisk.
When a frothy custard has formed, add the mascarpone in spoonfuls, stirring well to avoid lumps.
Add two tablespoons of strong coffee (making it with the moka, just take the first coffee that rises, the thickest). Whisk.
Add two tablespoons of wiskey. Whisk.

Per formare il Tiramisù – To form the Tiramisù

Spalmare un biscotto con la nutella e ricoprire con un altro biscotto. Fare 20 coppie di biscotti.
Immergere una coppia di biscotti nel caffè (giusto il tempo di bagnarla su ciascun lato) e poi riporla nella ciotolina. Ricoprire di crema. Immergere un’altra coppia di biscotti nel caffè e riporre anche questa nella ciotolina. Ricoprire con un secondo strato di crema.
Cospargere con cacao amaro o con scagliette di cioccolato (io uso il cacao amaro, ma Alvise non lo apprezza, quindi le porzioni per lui le copro con scagliette di cioccolato).
Lasciare riposare in frigorifero per almeno due ore. Servire freddo.

Spread a biscuit with Nutella and cover with another biscuit. Make 20 pairs of cookies.
Dip a pair of biscuits in the coffee (just enough time to wet it on each side) and then place it in the bowl. Cover with custard. Dip another pair of biscuits in the coffee and place it in the bowl. Cover with a second layer of custard.
Sprinkle with bitter cocoa or chocolate chips (I use bitter cocoa, but Alvise doesn’t like it, so I cover it with chocolate chips for him).
Leave to rest in the refrigerator for at least two hours. Serve cold.

Ricerca del MCD

Ricerca del MCD con il metodo di Euclide delle divisioni successive

Cercare il massimo comun divisore (MCD) tra due numeri naturali è cercare il più grande numero naturale che è sottomultiplo sia del primo che del secondo numero.
Fin qui non abbiamo detto nulla rispetto a come fare per trovare il MCD: abbiamo semplicemente ridetto la stessa cosa con parole leggermente diverse, che forse ci possono far capire meglio come sia venuta ad Euclide l’idea di procedere per divisioni successive.

Immaginiamo di voler preparare due passatoie, ossia due tappeti lunghi e stretti, di una lunghezza prefissata, a partire da dei pezzi rettangolari, tutti uguali tra loro e il più lunghi possibile.

Possiamo trovarci in tante situazioni diverse che, come vedremo, possono però essere ricondotte tutte ad un unico “modello”.

Quando il MCD è il più piccolo dei due numeri

Può succedere che se prendiamo un pezzo lungo esattamente come il tappeto più corto, questo “ci stia” un numero esatto di volte in quello più lungo.

In questo caso basterà fare dei pezzi tutti uguali al secondo tappeto: il secondo tappeto sarà allora formato da un unico pezzo e quello lungo da un certo numero di pezzi uguali al secondo.

Con i numeri la situazione è analoga.

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (18 ; 6). Se mi accorgo subito che 18 è un multiplo di 6, allora subito posso dire che 
MCD (18 ; 6) = 6.
Se non mi accorgo (perché magari i numeri sono più grandi), mi basta provare a fare la divisione tra il più grande dei due numeri e quello più piccolo: se il resto della divisione è 0, significa che il più piccolo dei due numeri è già il MCD tra i due numeri dati.

Esempi

Quando basta un ulteriore passettino

Un pezzo lungo come il tappeto più corto, però, potrebbe anche non starci un numero esatto di volte in quello più lungo. In questo caso dobbiamo un po’ ragionare per capire che cosa fare.

Se siamo fortunati, la parte che avanza al tappeto più lungo dopo aver accostato tanti pezzi lunghi come il tappeto più corto, ci sta un numero intero di volte nel tappeto più corto (e quindi anche in quello più lungo): avremo così trovato quanto cercavamo.

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (14 ; 6).
6 non è un divisore di 14: il 6 nel 14 ci sta 2 volte, ma poi ho il resto di 2.
Sono fortunato perchè questo resto (2) divide esattamente il 6 e quindi
MCD (14 ; 6) = 2

Esempi

Un caso particolare

Un caso particolare molto semplice è quello che si presenta quando il resto della divisione tra il numero più grande e quello più piccolo è 1, ossia quando i due numeri sono uno il successivo dell’altro.

In questo caso è ovvio che il massimo comun divisore tra i due sarà proprio 1.

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (7 ; 6).
6 non è un divisore di 7: il 6 nel 7 ci sta 1 volte, ma poi ho il resto di 1.
Ovviamente questo resto (1) divide esattamente anche il 7 e quindi
MCD (7 ; 6) = 1

Ma senza fare alcun calcolo, se abbiamo capito il senso di quello che stiamo facendo, potremo dire che

MCD (567 ; 566) = 1

MCD (45678 ; 45679) = 1

MCD (123456 ; 123457) = 1

Quando bisogna armarsi di pazienza

Potrebbe anche succedere che un pezzo lungo come il “resto” della divisione tra il tappeto più lungo e quello più corto, però, non stia un numero esatto di volte in quello più corto (e quindi nemmeno un quello più lungo). In questo caso però possiamo continuare a ripetere lo stesso procedimento, fino a quando non troveremo un “resto” che divide esattamente il pezzo più corto fino ad allora considerato: quel pezzo sarà quello cercato.

I “tappeti” illustrati nel disegno qui sopra, potrebbero corrispondere a questa situazione: cerco il MCD (16 ; 6).
6 non è un divisore di 16: il 6 nel 16 ci sta 2 volte, ma poi ho il resto di 4.
E 4 non è un divisore di 6: il 4 nel 6 ci sta 1 volta, ma poi ho il resto di 2.
Questo resto (2), però, divide esattamente il 4, il 6 e il 16 e quindi possiamo dire che
MCD (16 ; 6) = 2

Esempio

Allenamento n° 5 / 2019

Risposte al quarto allenamento

Il quarto allenamento ha ricevuto risposta esatta da parte di Emanuele Giada, Morena Merkohitaj e Chiara Cattelan: bravi!

Il 16 marzo si avvicina, quindi proporrei di intensificare i giochi; pubblicheremo il sesto già mercoledì 6 marzo: non perdetevelo!

Quinto allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”. Ma soprattutto, non pensiate che per trovare la soluzione a questo quesito si debbano conoscere chissà quali formule: un po’ di spirito di osservazione è più che sufficiente!

Esagoni

I due esagoni in figura sono regolari e ciascuno di essi ha area 6. Quanto misura l’area dell’intero rettangolo?Se l'area di ciascun rettangolo è 6, quanto misura l'area del rettangolo? Da un puzzle di Catriona Shearer

Allenamento n° 4 / 2019

Risposte al terzo allenamento

Il terzo allenamento ha ricevuto qualche risposta in più rispetto ai precedenti; quelle esatte, per ora, sono le soluzioni date da Tommaso Seno, Emanuele Giada, Morena Merkohitaj e Chiara Cattelan: bravi!
Il 16 marzo si avvicina, quindi non c’è tempo per le chiacchiere, ma solo per il prossimo gioco: buon divertimento!

Quarto allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”…

Un quadrato vagante…

Il diametro della circonferenza di centro A misura 10 cm.

Sapendo che ABCD è un quadrato, sai dire qual è l’area del quadrato colorato in viola, le cui diagonali si incontrano nel punto A?

Un quadrato ha il proprio centro coincidente con quello di una circonferenza e sembra vagare dentro di essa...

Allenamento n° 3 / 2019

Risposte al secondo allenamento

Anche al secondo allenamento hanno risposto in pochi. Solo Chiara Cattelan ha risposto in maniera corretta, il che non è un problema: era parecchio tosto! Grazie anche a Morena (che ha trovato 3 rombi con le caratteristiche richieste), Emanuele (che ne ha trovati due) e Maria (che ne ha trovato uno). A scuola proverò a darvi qualche suggerimento per aiutarvi a cercare anche gli altri! 
Ma adesso è arrivato il momento del terzo gioco!

Terzo allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”…

Grattacieli

Un quartiere della città di New York è stato rappresentato con una griglia 4×4.
Griglia viota 4x4 per il gioco dei grattacieli
Ogni casella della griglia contiene un grattacielo di 10, 20, 30 o 40 piani. I grattacieli sono simboleggiati da un numero (corrispondente ai suoi piani) scritto nella casellina in cui esso si trova.
Ad esempio, questo potrebbe essere un quartiere con i grattacieli posizionati:
Esempio di grattacieli distribuiti in una griglia 4x4
Come potete notare, i grattacieli in una stessa riga sono sempre tutti di taglia differente; ad esempio:
riga di grattacieli (esempio per un gioco matematico)
Anche i grattacieli in una stessa colonna sono sempre tutti di taglia differente:
colonna di grattacieli (esempio per un gioco matematico)
Ai bordi della griglia vengono forniti alcuni indizi; ogni indizio rappresenta il numero di grattacieli visibili sulla griglia corrispondente da un osservatore posto nella posizione in cui si trova l’informazione.
Vediamo questo esempio:
Riga di una griglia del gioco dei grattacieli completa con indizi
Un osservatore posto a sinistra della riga vedrà tre grattacieli: quello di 10 piani, quello di 20 piani e quello di 40 piani (mentre quello di 30 piani è nascosto alla vista di questo osservatore dal grattacielo di 40 piani, più alto).
Un osservatore posto a destra della riga vedrà 2 grattacieli: quello di 30 piani e quallo di 40 piani (gli altri due sono nascosti alla vista di questo osservatore).

Ti viene fornita una griglia vuota: tu devi trovare l’altezza dei 16 grattacieli della griglia, tenendo presenti le regole fin qui presentate e gli indizi che ti vengono forniti sul bordo della griglia.

Attenzione: la griglia qui sotto è stata corretta oggi, lunedì 18 febbraio 2019 (modificata rispetto a quella che avevo caricato sabato 16 febbraio 2019), perché mi è stato segnalato un errore. Grazie, Morena!

Gioco dei grattacieli (facile): griglia da completare (corretta)

Buon divertimento!

Allenamento n° 2 / 2019

Risposte al primo allenamento

Poche ma buone, come si suol dire, le risposte che ho ricevuto al gioco del primo allenamento: hanno risposto correttamente Emanuele Giada (della classe prima D), Chiara Cattelan (della classe terza B) e Morena Merkohitaj.
Ora non c’è tempo da perdere: ecco il secondo gioco!

Secondo allenamento in vista dei Campionati

Come sempre, aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

oppure a scuola, se preferite. Non scrivetele, però, tra i commenti qui sotto, per non “spoilerare”…

Rombi

segmenti lunghi 5 quadrettiSe non lo sai, ti dico io che i segmenti che puoi disegnare, su carta a quadretti, che abbiano gli estremi negli incroci della quadrettatura e che siano lunghi 5 quadretti sono essenzialmente di due tipi:

  • quelli che seguono le linee della quadrettatura
  • quelli che sono ipotenusa di un triangolo rettangolo con un cateto lungo esattamente 3 quadretti e l’altro cateto lungo esattamente 4 quadretti.

Ciò premesso: disegna – su carta a quadretti – tutti i possibili rombi, diversi tra loro, che abbiano i vertici negli incroci della quadrettatura e i lati lunghi 5 quadretti (dove per rombo si intende un qualsiasi quadrilatero con i quattro lati uguali tra loro).

 

Allenamento n° 1 / 2019

Primo allenamento in vista dei Campionati

Ecco il primo allenamento on-line di questo anno per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Somme

Scrivi in ciascuno dei dischi della figura uno dei numeri interi da 1 a 9. Il numero che vedi già scritto all’interno di ognuno degli otto piccoli “triangoli” è la somma dei tre numeri da scrivere nei dischi posti nei suoi vertici.

N.B. Lo schema qui sotto non è interattivo: copiatelo su un foglietto e poi invia la tua soluzione, o fotografando il foglietto, o trovando un modo per spiegare dove ai messo i numeri. Ce la puoi fare!

schema in cui inserire dei numeri, date le loro somme

 

Allenamento n° 5 / 2018

Quinto allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il quinto allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

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(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Il gioco è tratto dal secondo numero della rivista PRISMA Matematica, giochi, idee sul mondo.

Una volta su tre

Carla mente una volta ogni tre frasi; le altre volte dice la vrità (dopo aver mentito, dice due volte la verità, e poi mente di nuovo).

Può cominciare mentendo oppure dicendo la verità una sola volta o due volte prima di mentire.

Adesso carla pensa a un numero intero naturale di due cifre e successivamente pronuncia le seguenti frasi:

  • “Una delle cifre del numero è 2”;
  • “Il numero è più grande di 57”;
  • “Il numero è pari”;
  • “Il numero è più piccolo di 31”;
  • “Il numero è multiplo di 6”;
  • “Una delle cifre del numero è 4”.

Qual è il numero pensato da Carla?

Allenamento n° 4 / 2018

Quarto allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il quarto allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

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(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Il gioco è tratto dal secondo numero della rivista PRISMA Matematica, giochi, idee sul mondo.

I numeri porta fortuna

Due numeri interi positivi conscutivi sono tali che la somma delle cifre di ognuno di loro è un multiplo di 13.

Qual è il più grande di questi numeri, sapendo che è più piccolo di 55555?

Allenamento n° 3 / 2018

Terzo allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il terzo allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

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(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Il gioco è tratto dal secondo numero della rivista PRISMA Matematica, giochi, idee sul mondo.

Taglia quadrati

Dovete dividere una scacchiera 20 x 18 (con tutte le caselle quadrate uguali tra loro) in vari quadrati, di taglia qualsiasi, tagliandola lungo le linee della qua quadrettatura, in modo che il numero dei quadrati sia il più piccolo possibile.

Quale sarà questo numero?

Allenamento n° 2 / 2018

Secondo allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il secondo allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

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(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

Tutti in fila!

Riesci a collocare 10 punti su 5 file con 4 punti su ogni fila?

E 12 punti su 6 file con 4 punti su ogni fila?

E 25 punti su 12 file con 5 punti per ogni fila?

Allenamento n° 1 / 2018

Primo allenamento in vista dei Giochi d’autunno

Ecco il primo allenamento on-line di questo anno scolastico per tutti gli alunni della scuola “Piero Calamandrei” di Chirignago. Aspetto le vostre risposte per posta elettronica all’indirizzo

prof@sofiasabatti.it

(se le scriveste tra i commenti qui sotto, rischiereste di “spoilerare”, e non sarebbe bello…)!

64 o 65? Questo è il dilemma!

I poligoni che formano questo rettangolo e questo quadrato sono a due a due identici: sia il rettangolo che il quadrato sono formati da un trapezio giallo, un trapezio verde, un triangolo rosso e un triangolo blu.

Eppure (se prendiamo come unità di misura l’area di un quadratino) il rettangolo ha area 13×5=65 mentre il quadrato ha area 8×8=64.

Dove sta il trucco? O, se preferisci: dove sta l’errore?

Un rettangolo 5x13 e un quadrato 8x8 che paiono equiscomponibili. Come è possibile?

L’isola, il topo e il fiore

Perché topologia

Da parecchi anni ho scelto di fare con i miei alunni un po’ di topologia, prima di tornare a parlare di triangoli, quadrati e quant’altro, per diversi motivi.

Innanzitutto la topologia mi piace, mi piace tanto. E sono convinta che insegnare ciò che ci piace sia (certamente un privilegio, ma anche) un dovere. Perché solo quando insegnamo ciò che ci appassiona possiamo essere davvero credibili.

Inoltre la topologia spiazza e dunque permette con facilità di catturare l’attenzione degli alunni, di tutti gli alunni. La topologia stupisce, perché nel giro di pochissimo si passa dal mettersi d’accordo sul significato che diamo a certe parole al vedere risultati non banali, inaspettati, quasi magici (e stupisce non solo i ragazzini: provate a tagliare un nastro di Möbius in sala insegnanti…!).

Non da meno, la topologia permette di staccarsi dalle proprietà metriche delle figure, sulle quali a volte si insiste talmente tanto da far sembrare la geometria solo un ambiente in cui esercitarsi sulle quattro operazioni.

Tau topologo

Insomma, quest’anno sto per incominciare nel solito modo (che comprende la costruzione e il taglio di una serie di nastri per contarne facce e bordi, un gioco con dei palloncini per osservare la deformazione delle figure e poi alcuni problemi a partire da Il problema delle cinque camere), quando per motivi che non sto a raccontare qui [1] mi imbatto in Tau topologo. La fiaba che racconta la matematica superiore ai bambini scritta da Franco Ghione.

Il primo giorno di scuola leggo ad alta voce in classe le prime pagine del primo capitolo, dove si racconta La storia del signor Tau. I ragazzi ascoltano in silenzio: è incredibile il potere di una bella storia.

Il nastro di Möbius

Leggo fin dove si dice che il signor Tau ha in casa una scultura di gesso che rappresenta un nastro di Möbius, “l’esempio più semplice di superficie non orientabile”. Ci fermiamo e ciascuno di noi costruise con due striscette di carta una superficie cilindrica e un nastro di Möbius, per toccare con mano che cosa significhi “superficie non orientabile”. Nell’ora successiva, con una collega di Arte e immagine che deve fare un’ora di supplenza in quella classe, colorano i nastri.

Il gioco dell’isola

Vorrei soffermarmi ancora sui nastri di Möbius, per studiarli un po’ meglio, per tagliarli, per farne con ulteriori avvolgimenti, ma la collega di arte mi dice di avere un’altra ora di supplenza in giorno dopo e mi chiede di lasciarle del lavoro da far fare ai ragazzi. Così, il secondo giorno di scuola, racconto brevemente che cosa accadeva nella casa del signor Tau e perché spesso si riempisse di bambini; spiego alla classe che cosa si intenda per curva chiusa semplice, disegnando alla lavagna col gesso una linea che assomiglia ad un ovale e una che assomiglia ad un otto: una curva chiusa semplice e una curva chiusa intrecciata.

Una curva chiusa semplice e una curva chiusa intrecciata

È mia intenzione introdurre quello che in Tau topologo è chiamato Il gioco dell’isola, per andare a lavorare su il “dentro” e il “fuori” della curva, ma per il momento tengo nello zaino curve più complicate, che ho portato per far loro colorare nell’ora successiva “l’isola” e “il mare”, e chiedo ai ragazzi di disegnare su un foglio tre curve chiuse semplici, giusto per assicurarmi di avere tutti in testa la stessa idea.

Una sola alunna non sa da che parte partire; mi dà l’impressione che la richiesta le sembri troppo facile rispetto alle solite, perché mi basta ripeterla senza nemmeno cambiare tanto le parole, che ha già disegnato sul foglio le sue tre curve. Giro tra i banchi per assicurarmi che tutto sia chiaro e…

Pensavo di essere io a stupire i miei alunni con la topologia ed invece, come spesso accade, sono loro a stupire me. Come sia venuto in mente a Yibo, dopo aver visto il mio uovo e il mio otto, di disegnare questo topo e questo fiore, per me è un mistero.
Un mistero bellissimo.

Il dentro e il fuori

E allora, senza dover saltare di palo in frasca, sono proprio le curve disegnate da Yibo che ci fanno rendere conto che non è sempre facilissimo capire se un punto sta nella regione di piano che sta “dentro” la curva chiusa o in quella che sta “fuori” la curva.

Consegno a ciascuno una copia di questo disegno di Robert Bosh, che avevo trovato il giorno prima grazie a Base cinque di Gianfranco Bo.

Chiedo a ciascuno di scegliere un punto sul proprio foglio e di chiedersi se sta dentro o fuori la curva. Rispondere sembra impossibile, la maggior parte di loro ride divertita. Bastano pochi istanti a Giuseppe per dire: “Basta che seguiamo la strada dal punto che abbiamo colorato in avanti e vediamo se si arriva fuori, prima o poi. Se si arriva fuori vuol dire che anche il punto è fuori.” Non sarà proprio detta bene, ma tutti hanno capito e allora la mia richiesta è stata questa: “Colorate tutta la regione del foglio al quale appartiene il punto che avete scelto”.

L’ora è finita presto, ma per “dare loro un lavoro da fare” durante la lezione successiva, ho lasciato altre curve, fotocopiate da Tau topologo: non vedo l’ora di andare a scuola per vedere come hanno colorato le regioni!

Note

[1] A consigliarmi la lettura di Tau topologo (o meglio a consigliarmi di farlo leggere a mio figlio) è stata la professoressa Maria Dedò, ordinario di geometria che negli ultimi anni anni si è occupata in particolare di comunicazione e divulgazione della matematica e che ho avuto la fortuna di conoscere grazie ai corsi MathUp. Se avessi la dote della sintesi, riuscirei brevemente a raccontare perché siamo arrivate a parlare di  Tau topologo, ma siccome non ce l’ho, so che ne verrebbe fuori un altro articolo. Sarebbe un’altra storia bella da raccontare, che ancora direbbe quanto i ragazzini possono essere profondi e possono stupirci nella loro capacità di cogliere aspetti non banali degli enti (topologici, geometrici, matematici…) che man mano incontrano.

Compiti vacanze 1C: frazioni equivalenti

Giochi sulle frazioni equivalenti

Ti propongo qui sotto alcuni giochini on-line sulle frazioni equivalenti.

Divertiti… 10 minuti al giorno, cambiando di giorno in giorno il gioco. Se ti appassioni, giocare più a lungo non ti farà male, ma abbi l’accortezza di non stare seduto troppo tempo davanti al computer o con il cellulare in mano. Interrompi il gioco ogni tanto e riprendilo dopo aver sgranchito la schiena e il collo ed aver riposato gli occhi.

Per avviare questi giochi, potrebbe esserenecessario attivare sul tuo dispositivo Adobe Flash. Fatti aiutare da un adulto.

Colpisci le frazioni ridotte ai minimi termini

MotoGP delle frazioni

Il poker delle frazioni

Quiz sulle frazioni equivalenti

Pac-man delle frazioni equivalenti

Compiti vacanze 1C: GeoGebra

Compiti da svolgere con GeoGebra

Durante il trascorso anno scolastico, tra novembre e dicembre, hai scaricato e installato su uno dei tuoi dispositivi GeoGebra, il programma di geometria dinamica (e non solo) che poi, nell’ultima settimana di scuola, abbiamo iniziato ad utilizzare.

Durante queste vacanze ti chiedo di costruire alcune figure utilizzando GeoGebra e di inviare i file che contengono queste costruzioni al mio solito indirizzo e-mail.

Sul quaderno di matematica (e, se non ricordo male, anche su quello di scienze) trovi le istruzioni relative a come salvare un file di GeoGebra e a come inviarmelo tramite posta elettronica.

Più sotto trovi le consegne dei compiti da svolgere; prima di procedere, puoi guardare questi due videotutorial, che ti ricordano l’uso di alcuni degli strumenti di GeoGebra che abbiamo visto in classe, utili per costruire i poligoni che ti verranno richiesti.

Per qualsiasi problema tu abbia nel fare i compiti, mandami un messaggio di posta elettronica o scrivi un commento qui sotto e cercherò di aiutarti a risolvere il problema.

Costruire un poligono con GeoGebra

Inserire un testo in un disegno fatto con GeoGebra

1) Triangoli isosceli, equilateri, rettangoli

Il primo file che ti chiedo di inviarmi dovrà chiamarsi cognome-2c-triangoli-1.ggb

In esso dovranno esserci la costruzione di un triangolo isoscele, quella di un triangolo equilatero e quella di un triangolo rettangolo. Vicino a ciascuna costruzione, inserisci un testo che ne costituisca la didascalia (per fare capire qual è il triangolo isoscele, qual è il triangolo equilatero e qual è il triangolo rettangolo).

Se non hai idea di come cominciare, può esserti utile il seguente videotutorial.

Come disegnare triangoli isosceli, equilateri e rettangoli

2) Triangoli emiequilateri e triangoli rettangoli isosceli

Il secondo file che ti chiedo di inviarmi dovrà chiamarsi cognome-2c-triangoli-2.ggb

In esso dovranno esserci la costruzione di un triangolo emiequilatero (ossia un triangolo che sia esattamente la metà di un triangolo equilatero) e quella di un triangolo rettangolo isoscele (ossia un triangolo che sia contemporaneamente rettangolo e isoscele, ossia che abbia un angolo retto e due lati uguali tra loro). Vicino a ciascuna costruzione, inserisci un testo che ne costituisca la didascalia (per fare capire qual è il triangolo emiequilatero e qual è il triangolo rettangolo isoscele).

Se non hai idea di come cominciare, può esserti utile il seguente videotutorial.

Triangoli emiequilateri e triangoli rettangoli isosceli

3) Quadrati, rettangoli e rombi

Il terzo file che ti chiedo di inviarmi dovrà chiamarsi cognome-2c-quadrilateri-1.ggb

In esso dovranno esserci la costruzione di un quadrato (ossia un poligono con quattro lati, tutti uguali tra loro, e con quattro angoli retti), quella di un rettangolo (ossia un poligono con quattro angoli, tutti retti) e quella di un rombo (ossia un poligono con quattro lati, tutti uguali tra loro). Vicino a ciascuna costruzione, inserisci un testo che ne costituisca la didascalia (per fare capire qual è il quadrato, qual è il rettangolo e qual è il rombo).

In questo caso, non hai videotutoral. In realtà si tratta di costruzioni che in classe abbiamo visto, ma penso sia difficile che tu abbia memorizzato tutti i passaggi. È importante che tu pensi alle definizioni (che sopra ho riportato) e al fatto che, se disegni un quadrilatero, possiamo dire che sia un quadrato solo se, muovendo uno qualsiasi dei suoi punti, esso rimane davvero un quadrato, magari più grande o più piccolo dell’originale, ma pur sempre un quadrato.

4) Parallelogrammi e trapezi

Il quarto file che ti chiedo di inviarmi dovrà chiamarsi cognome-2c-quadrilateri-2.ggb

In esso dovranno esserci la costruzione di un parallelogramma (ossia un poligono con quattro lati, a due a due paralleli) e quella di un trapezio (ossia un poligono con quattro lati, di cui due paralleli tra loro). Vicino a ciascuna costruzione, inserisci un testo che ne costituisca la didascalia (per fare capire qual è il parallelogramma e qual è il trapezio).

Anche in questo caso, non hai videotutoral. In realtà si tratta di costruzioni che in classe abbiamo visto, ma penso sia difficile che tu abbia memorizzato tutti i passaggi. È importante che tu pensi alle definizioni (che sopra ho riportato) e al fatto che, se disegni un parallelogramma, possiamo dire che sia un parallelogramma solo se, muovendo uno qualsiasi dei suoi punti, esso rimane davvero un parallelogramma, magari più grande o più piccolo dell’originale, ma pur sempre un parallelogramma.

5) Esagoni regolari

Il qunto file che ti chiedo di inviarmi dovrà chiamarsi cognome-2c-esagoni.ggb

In esso dovrà esserci la costruzione di un esagono regolare. Puoi andare a cercare le istruzioni per la costruzione di questo poligono regolare sul tuo libro di tecnologia; potrebbe anche esserti utile questa osservazione: la lunghezza del lato di un esagono regolare è uguale a quella del raggio della circonferenza in cui esso è inscritto.

6) Diagonali

Il sesto file che ti chiedo di inviarmi dovrà chiamarsi cognome-2c-diagonali.ggb

Per costruirlo, devi ricordare quanto abbiamo detto in classe a proposito di diagonali: dato un poligono, una sua diagonale è un segmento che congiunge due suoi vertici distinti e non consecutivi.

Sul file dovanno essere presenti i disegni seguenti e le risposte alle relative domande, in forma completa (in modo tale che possa capire di che cosa stai parlando anche qualcuno che non ha letto le domande).

  1. Disegna un triangolo.
    Disegna tutte le diagonali che riesci a trovare di questo triangolo.
    Quante diagonali partono da ciascun vertice?
    Quante sono in tutto le diagonali?
  2. Disegna un quadrilatero.
    Disegna tutte le diagonali che riesci a trovare di questo quadrilatero.
    Quante diagonali partono da ciascun vertice?
    Quante sono in tutto le diagonali del quadrilatero?
    Muovi un vertice, in modo che il quadrilatero diventi concavo. Il numero delle sue diagonali cambia? Come?
  3. Disegna un pentagono (ossia un poligono con 5 lati).
    Disegna tutte le diagonali che riesci a trovare di questo pentagono.
    Quante diagonali partono da ciascun vertice?
    Quante sono in tutto le diagonali del pentagono?
    Muovi un vertice, in modo che il pentagono diventi concavo. Il numero delle sue diagonali cambia? Come?
  4. Disegna un esagono (ossia un poligono con 6 lati).
    Disegna tutte le diagonali che riesci a trovare di questo esagono.
    Quante diagonali partono da ciascun vertice?
    Quante sono in tutto le diagonali dell’esagono?
    Muovi un vertice, in modo che l’esagono diventi concavo. Il numero delle sue diagonali cambia? Come?
  5. Disegna un ettagono (ossia un poligono con 7 lati).
    Disegna tutte le diagonali che riesci a trovare di questo ettagono.
    Quante diagonali partono da ciascun vertice?
    Quante sono in tutto le diagonali dell’ettagono?
    Muovi un vertice, in modo che l’ettagono diventi concavo. Il numero delle sue diagonali cambia? Come?

Prova adesso a rispondere, sul quaderno e motivando la tua risposta, a questa domanda: dato un poligono con un numero di lati qualsiasi n, quante saranno le sue diagonali (in funzione di n)?

Se ne senti la necessità, puoi guardare il seguente videotutorial.

Diagonali di un poligono con GeoGebra

Compiti – 1C – 1/6/2018

Ordinamento tra frazioni

Come abbiamo fatto in classe, sfrutta il confronto tra queste frazioni e i numeri naturali per confrontarle tra loro (cioè decidere qual è la più grande).

Esempio

Voglio sapere se è più grande 17/5 o 25/6.

  1. Cerco qual è il più grande numero naturale prima di 17/5
    17:5 = 3 con il resto di 2
    quindi 17/5 = 3 + 2/5
  2. Cerco qual è il più grande numero naturale prima di 25/6
    25:6 = 4 con il resto di 1
    quindi 25/6 = 4 + 1/6
  3. Allora 3 < 17/5 < 4 < 25/6
    e quindi in particolare 17/5 < 25/6

Voglio sapere se è più grande 16/3 o 21/4.

  1. Cerco qual è il più grande numero naturale prima di 16/3
    16:3 = 5 con il resto di 1
    quindi 16/3 = 5 + 1/3
  2. Cerco qual è il più grande numero naturale prima di 21/4
    21:4 = 4 con il resto di 1
    quindi 21/4 = 5 + 1/4
  3. Allora 16/3 e 21/4 sono entrambi più grandi di 5 ma più piccoli di 6. Però so confrontare 1/3 e 1/4, perché hanno lo stesso numeratore, e so che 1/3 è più grande di 1/4. Allora
    5 + 1/3 > 5 + 1/4
    cioè 16/3 > 21/4

Compito

Stabilisci, per ciascuna delle seguenti coppie di frazioni, qual è la più grande, confrontandole con i numeri naturali che le precedono.

19/4 e 31/6

32/11 e 37/12

21/7 e 29/9

13/5 e 17/7

5×1000 o 5:1000?

Disclaimer

Non preoccupatevi: questo non è l’ennesimo articolo in cui qualcuno vi chiede di donargli il vostro 5 per mille. Non lo è, semplicemente per il fatto che io non sono un ente accreditato a ricevere il vostro 5 per mille, altrimenti, come tutti gli altri, mi farei in quattro per convincervi a darlo a me!

Scritture e significati

Il cosiddetto “5 per mille” è una misura fiscale che consente ai contribuenti (ossia coloro che in Italia pagano le tasse, o meglio le imposte) di destinare una quota di ciò che pagano come IRPEF (imposta sul reddito delle persone fisiche)  a enti che si occupano di attività di interesse sociale, come associazioni di volontariato e di promozione sociale, onlus, associazioni sportive che svolgono prevalentemente attività socialmente utili, enti di ricerca scientifica e sanitaria.

Non si tratta di pagare una imposta in più oltre a quella che già si paga allo Stato: si tratta solo (per il cittadino) di scegliere a quale ente o associazione devolvere una parte delle tasse che comunque dovrebbe pagare. Questa parte corrisponde, appunto, al 5 per mille dell’imposta sul reddito delle persone fisiche.

Quindi, se una persona paga allo Stato un’IRPEF di 4000 € e sceglie di destinare il 5 per mille all’associazione X, questa associazione riceverà i 5 millesimi di 4000 € ossia 20 € (eh già, perchè 4000 € : 1000 = 4 € che quindi è un millesimo dell’IRPEF pagata da questa persona, e 4 € x 5 = 20 € che sono i 5 millesimi del’IRPEF, ossia il 5 per mille).

Ora, la cosa “buffa” è che in tantissime delle pubblicità che enti e associazioni divulgano per convincere i contribuenti a sceglierle come destinatarie del 5 per mille, questa quota è rappresentata con questa scrittura: “5 x 1000”. Scrittura che, a chiunque, ricorda tutt’altra operazione matematica.

Dire “il 5 per 1000 di…” è come dire “i cinque millesimi di…” ossia “0,005 per…”.
Dire invece “il 5 x 1000 di…” è come dire “5000 volte…” ossia “5000 per…”.
Cambia qualcosa, no?

Ora, mi risulta difficile capire se si tratta di una “trovata pubblicitaria”, ossia se si tratti di una scelta consapevole, fatta per attirare l’attenzione del cittadino, oppure di una iniziale “svista” che ha poi preso piede ed è diventata di moda, oppure di un effetto del ritenere che tanto il cittadino medio non ha la più pallida idea di che cosa si stia parlando, e quindi usare un linguaggio preciso o un linguaggio confuso e confondente sia la stessa cosa.

I primi ad averla usata, a mio parere, l’hanno fatto pensando proprio di attirare l’attenzione scrivendo in un modo sbagliato. Ma tutti quelli che hanno “copiato” questa trovata, perché l’hanno fatto? Potrebbe essere lo stesso desiderio di brevità che fa scrivere “xché” al posto di “perché”, ma nemmeno questo mi convince molto: la scrittura corretta “5‰” è molto più breve di “5×1000”.

Sta di fatto che a me, come insegnante di matematica, sembra una pessima abitudine e sembra una scelta che rema contro il mio tentativo di rendere per tutti i miei alunni il linguaggio della matematica chiaro e comprensibile. Sì, perché scrivere due cose diversissime nello stesso modo è confondere le idee, e che qualcuno voglia confondere le idee mie e quelle dei miei alunni non mi piace affatto.
Ad ogni modo, per quanto mi riguarda, che i pubblicitari scelgano pure di mandare i loro messaggi nel modo che ritengono più opportuno; io spero solo che i miei alunni capiscano che cosa è il “5×1000”, che lo sappiano calcolare e che si rendano conto di quando lo stesso simbolo è usato per indicare cose molto diverse tra loro.

Caccia al tesoro fotografica

La mia proposta è questa: facciamo una caccia al tesoro fotografica e inseriamo qui sotto, come commenti all’articolo, le foto di cartelloni o inserzioni dove ci sia scritto 5×1000 al posto di 5/1000?

Non vale ripetere fotografie di strafalcioni già inserite, mentre volgono fotografie di strafalcioni analoghi, se ne trovate, su altre frazioni o percentuali (8 per mille, 2 per mille…), o su altri casi in cui simboli tipici della matematica vengono usati con significato diverso da quello che in matematica gli si attribuisce.

Attenzione: potete caricare immagini in formato jpg, gif, png; la dimensione massima del file può essere 25MB; non potete lasciare il commento vuoto (potreste scrivere, per esempio, dove e quando avete scattato la fotografia).

Io ho incominciato, adesso tocca a voi: buon lavoro!

Compiti – 3C – 14/05/2018

Problema numero 1

Una piramide ha come base un quadrato di lato 20 cm; l’altezza della piramide ha piede proprio nel centro del quadrato e misura 24 cm. Fai il disegno ed esprimi i dati del problema in relazione al disegno fatto. Calcola l’area della superficie totale della piramide, il suo volume e il suo peso, sapendo che è fatta di sughero. Per risolvere il problema, hai bisogno di una informazione che puoi trovare sul libro di tecnologia o su internet: quale?

Problema numero 2

Una piramide ha come base un quadrato di perimetro 120 cm; le sue facce triangolari sono tutte uguali e hanno tutte altezza 20 cm. Fai il disegno ed esprimi i dati del problema in relazione al disegno fatto. Sapendo che la piramide è di alluminio, calcolane la superficie totale, il volume e il peso. Anche per risolvere questo problema, hai bisogno di cercare una informazione su internet o sul libro di tecnologia.

Problema numero 3

Una piramide ha per base un rettangolo le cui dimensioni sono 10 cm e 70 cm. L’altezza della piramide cade esattamente nel centro del rettangolo (il punto d’incontro delle sue diagonali) e misura 12 cm. Fai il disegno ed esprimi i dati del problema in relazione al disegno fatto. Calcola il volume della piramide e la sua superficie totale.