Questo laboratorio è stato pensato durante la mia frequentazione del corso MathUp organizzato dall’associazione mateinitaly. Durante l’anno accademico 2015 / 2016 ha tenuto il corso centrato sulla classe prima della Scuola secondaria di primo grado la professoressa Maria Dedò ed è stata tutor del gruppo a cui appartenevo la professoressa Mari Angela Chimetto. A tutta l’organizzazione del corso, alla docente e alla tutor vanno i miei ringraziamenti: è stata davvero una bellissima occasione per ripensare alla mia didattica.

1. Titolo del laboratorio

La geometria allo specchio

2. Classe coinvolta

Classe prima C della Scuola secondaria di primo grado “Piero Calamandrei” a Venezia Chirignago

3. Area tematica di riferimento

Simmetria

4. Eventuali prerequisiti

Nulla di specifico

5. Obiettivi del laboratorio proposto

Obiettivi e traguardi sono tratti dalle Indicazioni nazionali e dalla scheda per la certificazione delle competenze. Ho scelto quelli che il laboratorio proposto concorre a raggiungere, senza la pretesa che il laboratorio stesso esaurisca tutto ciò che si può fare per andare verso questi obiettivi e queste competenze.

Obiettivi

Dalle Indicazioni nazionali	In particolare…
Descrivere figure complesse e costruzioni geometriche al fine di comunicarle ad altri. Riprodurre figure e disegni geometrici in base a una descrizione e codificazione fatta da altri.	Saper nominare e descrivere ai compagni del proprio gruppo le figure su cui si sta lavorando, usando per questo sia il linguaggio naturale (descrizione) sia alcuni termini del codice specifico della geometria (codificazione), quando se ne senta la necessità.
Risolvere problemi utilizzando le proprietà geometriche delle figure.	Riconoscere di essere in presenza di un problema di matematica anche quando nel testo non compaiano una sfilza di dati numerici. Far tesoro di quanto si è appreso nei gruppi e non solo di quanto l’insegnante ha spiegato e formalizzato in precedenza.

Traguardi per lo sviluppo delle cometenze matematiche

Dalle Indicazioni nazionali	In particolare…
Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi.	Riconosce figure piane simmetriche da figure prive di simmetria. Denomina i quadrilateri, di cui riconosce le simmetrie.
Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza. Spiega il procedimento seguito, anche in forma scritta, mantenendo il controllo sia sul processo risolutivo, sia sui risultati.	Riconosce i problemi, distinguendo (nel testo o nella situazione che li propongono) le informazioni accessorie da quelle essenziali. Spiega sia il procedimento risolutivo scelto dal gruppo, sia le eventuali proposte scartate (motivando la decisione presa).
Ha rafforzato un atteggiamento positivo rispetto alla matematica attraverso esperienze significative e ha capito come gli strumenti matematici appresi siano utili in molte situazioni per operare nella realtà.	Assume all’interno del gruppo un atteggiamento attivo (propositivo o di esplicito interesse per ciò che si sta facendo). Riconosce ambiti della realtà (ad esempio ambiti artistici) in cui viene sfruttata la simmetria delle figure per attività umane non esclusivamente matematiche.

Traguardi per lo sviluppo delle competenze chiave

Dalla scheda per la certificazione delle competenze	In particolare…
Osserva ed interpreta ambienti, fatti, fenomeni e produzioni artistiche.	Osserva e riconosce la simmetria in produzioni artistiche.
Si impegna per portare a compimento il lavoro iniziato da solo o insieme ad altri.	Ha un ruolo attivo all’interno del gruppo. Mantiene l’attenzione sul compito assegnato al gruppo finché non è stato svolto completamente.
Si assume le proprie responsabilità, chiede aiuto quando si trova in difficoltà e sa fornire aiuto a chi lo chiede.	Parla con i membri del proprio gruppo. Manifesta (anche solo con in linguaggio del corpo, ma in maniera esplicita) le proprie difficoltà o il proprio entusiasmo. Aspetta il momento opportuno per chiedere o per spiegarsi, rispettando i tempi di ciascun membro del gruppo.
Rispetta le regole condivise, collabora con gli altri per la costruzione del bene comune esprimendo le proprie personali opinioni e sensibilità.	Rispetta le regole che il gruppo ha scelto.

A proposito dell’ultimo traguardo indicato (relativo alle regole condivise), si veda il seguente allegato.

6. Eventuali collegamenti con altri argomenti di matematica

Le trasformazioni geometriche e i loro invarianti

Le attività di questo laboratorio sono legate alla simmetria delle figure piane: descrivere il tipo di simmetria di una figura significa descrivere l’insieme (che non è solo un insieme, ma è un gruppo, anche se non formalizzeremo certo questo concetto) di tutte le trasformazioni geometriche che mandano quella figura in sé stessa.

Ora, il laboratorio è pensato in modo tale che i ragazzi possano entrare in contatto con la simmetria delle figure anche senza aver studiato nulla sulle trasformazioni geometriche, ma è indubbio il collegamento che c’è tra questo laboratorio e le isometrie.

Che le isometrie siano trattate in precedenza o successivamente al laboratorio (o parallelamente, in altre ore di lezione) non è particolarmente importante: le schede contengono tutte le informazioni necessarie ai ragazzi (quindi non è indispensabile aver già definito formalmente che cos’è una riflessione rispetto ad una retta o una rotazione) e vertono comunque su un aspetto particolare (il gruppo di simmetria delle figure piane) che presumibilmente non si tratta nell’affrontare semplicemente il tema delle isometrie.

7. Collegamenti con le scienze: la simmetria in natura

In alcune schede di questo laboratorio saranno proposte fotografie di fiori o foglie con forme simmetriche, che quindi potrebbero offrire lo spunto per approfondire la presenza della simmetria in natura.

Io quest’anno non lo farò con la classe, ma per le vacanze estive proporrò la ricerca e la raccolta di foglie da far seccare (indicando anche ai ragazzi come farle seccare in modo efficace) e la loro classificazione in base alle simmetrie in esse presenti.

8. Collegamenti con altre discipline: la simmetria nell’arte

In alcune schede di questo laboratorio saranno proposte fotografie di mosaici o altre decorazioni con forme simmetriche, che quindi potrebbero offrire lo spunto per approfondire la presenza della simmetria nell’arte.

Io quest’anno non lo farò con la classe e non sono riuscita a coinvolgere la mia collega di Arte e immagine, anche se credo sia una cosa fattibile. Per quest’anno mi limiterò a fare ai ragazzi una proposta simile a quella sopra descritta per scienze: per le vacanze estive proporrò di osservare nelle città che andranno eventualmente a visitare o nella nostra città particolari artistici da fotografare che presentino delle simmetrie e di classificare le foto fatte, proprio in base alle simmetrie in esse presenti. Per motivare i ragazzi aggiungerò anche che le foto più belle potranno essere pubblicate sul sito del Centro matematita (nella sezione materiali) e che, potremo con esse creare una presentazione da pubblicare sullo stesso sito (nella sezione percorsi) perché possa essere vista anche da altri insegnanti e da altre classi.

9. Numero di sessioni e durata prevedibile di ogni sessione

Il laboratorio si svolgerà in 5 sessioni di un’ora ciascuna.

Svolgerò queste sessioni preferibilmente in giornate in cui ho due ore consecutive di lezione nella classe, in modo tale che ci sia una ora piena di laboratorio (il resto del tempo servirà per l’appello, le informazioni di servizio, la sistemazione dei banchi prima e dopo l’attività, l’assegnazione di attività da svolgere a casa…).

10. Tipologia dei gruppi

La classe è formata da 26 alunni.

Sarà suddivisa in 6 gruppi (4 gruppi di quattro alunni e 2 gruppi di cinque alunni). Ritengo che gruppi di cinque alunni siano troppo numerosi per lavorare bene. In questa classe accade però che una ragazzina viene a scuola molto raramente; mettendola in gruppo con sole altre tre persone rischierei che si trovassero a lavorare per più della metà delle sessioni in tre. Inoltre non abbiamo grandi spazi e 7 gruppi si troverebbero a lavorare su banchi troppo vicini tra loro.

Saranno gruppi costruiti da me, eterogenei per livello scolastico degli alunni. Credo che questa scelta consenta ai più in difficoltà di avere un aiuto da quelli più esperti, che hanno invece modo di crescere autenticamente nella loro capacità di spiegarsi, di dare ragione delle proprie scelte, di giustificare il loro pensiero.

11. Materiale necessario

Specchi

Per ciascun gruppo 2 specchi quadrati (15×15 cm, di quelli venduti in negozi di bricolage come elementi decorativi per bagni; hanno un prezzo relativamente basso e non sono taglienti sui bordi). Ho già questi specchi, acquistati per attività svolte con altre classi negli anni precedenti, quindi per una questione meramente economica preferisco non affrontare altre spese. Per chi dovesse acquistare ex-novo il materiale per il laboratorio, vale la pena di considerare la possibilità di prendere specchi in plexiglas, che sono infrangibili.

Cartone alveolare

Per ciascun gruppo un pezzo di cartone alveolare spesso un paio di centimetri, recuperato da imballi di mobili ed elettrodomestici, e un elastico piatto, forte abbastanza da tenere gli specchi aderenti allo spessore del cartone. Questo cartone, già tagliato, servirà per sostenere una coppia di specchi paralleli.
Per chi dovesse realizzare un laboratorio simile a questo in futuro, credo che l’ideale sarebbe prevedere una struttura di supporto anche più solida, ad esempio un pezzo di compensato con due fessure in cui inserire gli specchi.

Il problema che non sono riuscita a risolvere è stato: come realizzare le due fessure in modo da farle esattamente parallele? Con gli strumenti che ho avrei fatto un sacco di pasticci e non sono per il momento riuscita a trovare qui nei dintorni un artigiano disponibile ad aiutarmi in questo compito.

Nastro adesivo telato

Può bastare un rotolo per l’intera classe: serve solo da cerniera tra gli specchi incidenti.

Tessere in plastica

Ogni gruppo avrà una decina di tessere diverse; le tessere corrisponderanno a poligoni aventi un angolo “notevole” (uno degli angoli riportati sul goniometro che dovrà venire usato nella terza sessione).

Carta da lucido, ferma-campioni

Ogni gruppo avrà un paio di fogli di carta da lucido e un paio di ferma-campioni per le attività previste nella quarta sessione

Schede

Nella prima sessione, verrà consegnata una scheda per ciascun ragazzo (sarà attraverso la scheda che trovano le istruzioni per lavorare in gruppo); nelle altre sessioni la scheda sarà una per gruppo, in modo che siano costretti a lavorare insieme.

12. Attività da svolgere in ogni sessione

Prologo

Prima di iniziare il laboratorio sottoporrò ai ragazzi un questionario, prima parte di quella che ho chiamato una “verifica comparativa”.

Un questionario del tutto simile sarà sottoposto agli alunni al termine del laboratorio: servirà sia per la valutazione degli apprendimenti dei singoli alunni, sia per la valutazione dell’efficacia del laboratorio.

Alcune delle immagini utilizzate per preparare la verifica sono tratte dal sito Immagini per la matematica; alcuni esercizi sono tratti da C. Bertinetto – A. Metiäinen – J. Paasonen – E. Voutilainen, Contaci!, Zanichelli editore (non ho specificato quali, all’interno della verifica, per non appesantire la lettura da parte degli alunni)

Prima sessione: formazione dei gruppi

La prima sessione che ho previsto non contiene attività ad alto contenuto matematico o essenziali per lo svolgimento di quelle successive.

Non per questo la ritengo meno importante: lavorare in gruppo non è qualcosa che i ragazzi sanno già fare bene, né qualcosa di facilissimo. Ho già proposto alla classe alcuni lavori di gruppo (di 1 o 2 sessioni, di 1 o 2 ore ciascuna) e in ogni occasione ho proposto inizialmente alcune attività “ludiche” per permettere il crearsi, all’interno dei nuovi gruppi, di un clima positivo, non diffidente. Mi è sembrata una scelta vincente, perché questo clima sereno e giocoso ha poi permesso ai gruppi di lavorare bene. Con altre classi, in anni precedenti, mi è successo a volte di rinunciare a far lavorare i ragazzi in gruppi perché mi sembrava ogni volta un fallimento, ma mi sono accorta che probabilmente questo è dipeso anche dal fatto che io stessa non avevo fatto nulla per creare un clima positivo, motivante e sereno.

La scelta di far lavorare i ragazzi sulle fotografie dei loro volti deriva da una istanza simile, più relativa al creare il gruppo che alla matematica in sé: riconosco che dal punto di vista prettamente matematico lavorare su immagini di oggetti tridimensionali potrebbe essere fuorviante; una attenta osservazione di queste fotografie mostra che la resa è cambiata molto a seconda dell’angolazione da cui è stata presa la foto (ovvio che io cercavo di essere ben davanti ai ragazzi, ma per alcuni “tenere la testa dritta” è stata davvero un’impresa, anche solo per una certa timidezza di fronte all’obiettivo). Eppure, osservare ciascuno le immagini degli altri, notare alcuni particolari, riconoscere l’immagine originale da quelle ritoccate spero sia un modo per rinnovare l’interesse gli uni per gli altri.

Per quanto possa sembrare irrilevante, credo che anche i 10 minuti in cui ho fotografato gli alunni in aula abbiano creato curiosità ed interesse per il laboratorio: curiosità ed interesse che sono ingredienti fondamentali per l’apprendimento.

Inoltre, credo che dare agli alunni la possibilità di ritrovarsi su una scheda e quindi il fornirgli la prova tangibile che il laboratorio è stato pensato, progettato, ritagliato su misura per loro, sia una carta vincente. Ho spesso infatti la netta sensazione che tanti problemi che i preadolescenti (e le classi di preadolescenti) ci danno, siano legati ad un pensiero latente che in essi è spesso presente: “Di questo (l’insegnante o l’adulto in generale) non posso fidarmi, tanto è qui solo perché deve e tanto prima o poi se ne va”. Ogni volta che, invece della solita fotocopia o della solita scheda, ho fornito del materiale ai ragazzi che non solo fosse scritto per loro, ma che anche lo dichiarasse (per esempio facendo riferimento a fatti avvenuti in classe o a domande poste dai ragazzi), ho notato una impagabile (e probabilmente immeritata) stima da parte loro nei miei confronti, che credo sia alla base del loro “comportarsi bene” quando si relazionano con me.

Infine, nella convinzione che “una percentuale mostruosamente alta di quello che insegniamo non viene da ciò che diciamo e che viene (più o meno) ascoltato, ma (molto di più) viene dall’esempio che diamo con i nostri comportamenti (nel bene e nel male)”, credo che fornire ai ragazzi delle schede curate e chiaramente preparate per loro possa essere un esempio del fatto che si può (ed è bello) lavorare con passione, mettere la testa e il cuore in ciò che si fa (invece di far sempre e solo dei semplici copia e incolla), trovare interesse per la matematica e per l’insegnamento. Condivido pienamente quest’idea, ma ho virgolettato perché mi è piaciuto riproporla con le stesse parole usate per esprimerla dalla professoressa Dedò, dalla quale ho imparato tanto attraverso ciò che mi ha detto, ma mostruosamente di più da come ha condotto il corso che ho seguito con lei, dalla dedizione e dalla cura con cui ha preparato i materiali per noi, dalle personalissime osservazioni che ha fatto alle mie proposte, dal modo con cui ha sottolineato ciò che le sembrava oscuro ma anche ciò che le sembrava bello…

L’ispirazione a questo tipo di gioco iniziale mi è venuta osservando una immagine riportata nel testo “Il ritmo delle forme” a cura di P. Bellingeri, M. Dedò, S. Di Sieno e C. Turrini, Mimesis, Milano 2001 (pagina 89); il contesto in cui l’immagine si trova è un’intervista a Giovanni Berlucchi, professore di fisiologia umana nella Facoltà di Medicina dell’Università di Verona, a proposito della asimmetria degli emisferi del nostro cervello e delle conseguenze sulla nostra percezione: di tutto questo non farò parola con i ragazzi, per quanto possa essere un discorso affascinante.

Seconda sessione: lo specchio per riconoscere simmetrie e asimmetrie

Con la seconda sessione il laboratorio entra nel vivo.

Gli scopi di questa attività sono:

• condurre gli alunni a capire che cosa significa che una figura piana ha uno o due assi di simmetria o un centro di simmetria;
• far sperimentare come l’uso di uno specchio possa aiutarci a riconoscere gli assi di simmetria in una figura stampata o disegnata;
• condurre gli alunni ad una classificazione.

La scheda che consegnerò ai ragazzi è la “SCHEDA A” del laboratorio “Specchi – Osservare la simmetria” del Centro matematita, senza modifiche (se avrò tempo, la modificherò semplicemente per dare uniformità al layout delle diverse schede del laboratorio).

Terza sessione: specchi paralleli e specchi incidenti

Analisi dell’effetto che si ottiene mettendo due specchi paralleli.

Analisi dell’effetto che si ottiene mettendo due specchi incidenti e di quali sono gli angoli che ci permettono di riprodurre un numero intero di immagini.

Quarta sessione: classificazione di figure in base agli assi di simmetria

Assegnerò a ciascun gruppo una serie di figure e due specchi. Gli alunni dovranno classificarle in base a “come si possono ricostruire” con uno specchio o due specchi.

La scheda qui sopra allegata è sostanzialmente la “SCHEDA B” del laboratorio “Specchi – Osservare la simmetria” del Centro matematita, con alcune modifiche (soprattutto nella parte introduttiva, che lega le attività a quelle precedentemente svolte).

Quinta sessione: un problema

Ogni gruppo dovrà cimentarsi con la risoluzione di un problema, tratto da quelli proposti su Quaderno a quadretti. Ho scelto il problema “Gusti difficili alla corte di Leonello” (giochi 2013 – II tappa – I media).

Epilogo

Terminato il laboratorio, agli alunni saranno sottoposti due questionari:

• il primo questionario sarà del tutto simile a quello iniziale, insieme al quale costituisce una “verifica comparativa”, utile sia per la valutazione degli apprendimenti individuali, sia per la valutazione dell’efficacia del laboratorio;
• il secondo questionario, anonimo, servirà per capire come si sono sentiti gli alunni all’interno dei singoli gruppi e per raccogliere una loro valutazione del laboratorio stesso.

15. Prevedibili difficoltà

In generale, credo che la difficoltà maggiore sarà, per tutti gli alunni, svolgere le attività proposte sulle schede senza richiedere continuamente spiegazioni da parte mia e senza pretendere di rispondere senza leggere, come spesso fanno. Questo è stato l’atteggiamento che ho visto in questa classe nei passati primi mesi di scuola; credo che però arriveremo a maggio abbastanza allenati da poter condurre un laboratorio di questo tipo, in cui io possa assumere il più possibile il ruolo dello spettatore attento.

A livello di difficoltà più relative alla matematica, credo che il momento in cui emergeranno maggiormente le diverse competenze di diversi alunni sarà quello finale, in cui dovranno risolvere il problema. Credo però anche che, proprio per questa fase, il lavorare in gruppo sia una risorsa molto preziosa.

16. Modalità di valutazione dell’efficacia del laboratorio

Il laboratorio sarà stato tanto più efficace quanto più:

• tutti gli alunni saranno stati coinvolti (posso valutarlo attraverso le griglie di osservazione predisposte e che compilerò durante le sessioni e attraverso il questionario finale, anonimo visto che non si tratta di valutare i singoli ragazzi ma il laboratorio di per sé);
• tutti gli alunni avranno scoperto qualcosa di nuovo (posso valutarlo attraverso domande specifiche sul questionario finale anonimo);
• tutti gli alunni saranno stati in grado di descrivere le attività fatte all’interno dei gruppi (in ogni sessione lascerò del tempo perché i gruppi – magari anche uno o due per volta se il tempo dovesse essere troppo poco – raccontino quanto osservato; a raccontare dovranno essere tutti i membri, interpellati a turno da me);
• tutti gli alunni avranno fatto dei passi avanti verso il raggiungimento degli obiettivi ai quali il laboratorio concorre; ho tentato a tal fine di predisporre una verifica comparativa: le stesse domande (o domande molto simili) verranno sottoposte agli alunni sia prima che dopo il laboratorio per vedere quanti di loro hanno tratto beneficio riguardo ad alcuni obiettivi inizialmente elencati.
• gli alunni avranno lavorato in modo autonomo (posso valutarlo attraverso la griglia di osservazione, in cui segnerò quante volte i gruppi hanno avuto bisogno del mio intervento per spiegare ciò che non avevo sufficientemente spiegato nelle schede).