Category Archives: Geometria

Compiti per il 9 novembre 2016, classe 2ª C

Rotazioni

Costruisci un file con GeoGebra in cui si veda un poligono (a tuo piacimento), ruotare di un angolo variabile α, di un angolo triplo di α e di un angolo ampio 5 volte α.

Per farlo, puoi cercre di ricordarti quanto abbiamo visto in classe venerdì 4 novembre, oppure guardare il seguente videotutorial.

Una volta costruito il file, modifica l’angolo o sposta il centro di rotazione per poter rispondere, sul quaderno, alle seguenti domande:

  1. Per quali valori dell’ampiezza dell’angolo α il poligono e le sue tre immagini ruotate sono tutti sovrapposti?
  2. Ci sono dei valori dell’ampiezza dell’angolo α per i quali le tre immagini del poligono sono tra loro sovrapposte senza essere sovrapposte al poligono originale? Quali?
  3. Ci sono dei valori dell’ampiezza dell’angolo α per i quali due delle tre immagini del poligono sono tra loro sovrapposte senza essere sovrapposte al poligono originale? Quali?
  4. Che cosa succede se sposti il centro di rotazione fino a farlo coincidere con uno dei vertici del poligono originale?
  5. Che cosa succede se sposti il centro di rotazione fino a farlo diventare interno al poligono originale?

Compiti per l’11 novembre 2016, classe 3ª C

Misure ISO 216 serie A

Qui di seguito sono date le dimensioni, espresse in millimetri, dei lati dei fogli di diversi formati standard, dall’A0 all’A10 (i più comunemente usati, anche dalla macchina fotocopiatrice che abbiamo a scuola, sono i formati A3 e A4).

formato dimensioni area rapporto tra le dimensioni
A0 841 × 1189    
A1 594 × 841    
A2 420 × 594    
A3 297 × 420    
A4 210 × 297    
A5 148 × 210    
A6 105 × 148    
A7 74 × 105    
A8 52 × 74    
A9 37 × 52    
A10 26 × 37    

Per ciascuno di questi formati calcola (anche aiutandoti con la calcolatrice):

  • l’area del foglio
  • il rapporto tra le due dimensioni.

Copia la tabella sul quaderno, inserendo nelle due colonne vuote i risultati dei tuoi calcoli.

Compiti per il 30 maggio – prima C

Altezze e ortocentro di un triangolo

Disegna, con GeoGebra, un triangolo, le sue altezze e il suo ortocentro. Fammi avere il tuo file tramite posta elettronica o salvata su una chiavetta usb.

Puoi guardare il videotutorial incorporato alla fine di questo articolo, ovviamente. Altrettanto ovviamente potrai scegliere i colori che preferisci.

Una volta terminata la costruzione, fai misurare a GeoGebra gli angoli del tuo triangolo. Muovi i vertici del triangolo e osserva dove va a finire l’ortocentro quando il triangolo è acutangolo, ottusangolo o rettangolo. Per “dove va a finire” intendo in particolare se è un punto interno al triangolo, esterno al triangolo o proprio appartenente alla linea spezzata che delimita il triangolo.

Fai la stessa cosa con i files che hai precedentemente costruito con le bisettrici, gli assi e le mediane dei triangoli.

Copia sul un foglio (intestato con il tuo nome e il tuo cognome, perché me lo consegnerai) tre tabelle simili a queste, compilandole in base alle tue osservazioni (scrivendo “sì” o “no” in ciascuna casella):

Ortocentro

L’ortocentro è il punto di incontro delle altezze (o dei loro prolungamenti) di un triangolo.

  è interno? è esterno? è sulla spezzata?
triangoli acutangoli      
triangoli ottusangoli      
triangoli rettangoli      

Baricentro

Il baricentro è il punto d’incontro delle mediane di un triangolo.

  è interno? è esterno? è sulla spezzata?
triangoli acutangoli      
triangoli ottusangoli      
triangoli rettangoli      

Incentro

L’incentro è il punto d’incontro delle bisettrici di un triangolo.

  è interno? è esterno? è sulla spezzata?
triangoli acutangoli      
triangoli ottusangoli      
triangoli rettangoli      

Circocentro

Il circocentro è il punto d’incontro degli assi di un triangolo.

  è interno? è esterno? è sulla spezzata?
triangoli acutangoli      
triangoli ottusangoli      
triangoli rettangoli      

Le piastrelle del palazzo di Policrate

Nel 2013 la professoressa Ornella Robutti ha pubblicato un video sul teorema di Pitagora in cui si narra, tra storia e leggenda, di “come Pitagora sia pervenuto al celebre teorema che porta il suo nome e come sia possibile dimostrarlo con un semplice ragionamento geometrico”.

Gli alunni della seconda C dell’anno scolastico 2015 / 2016 hanno guardato questo video e poi, divisi in gruppi, ne hanno preparato un remake, partendo da alcune “piastrelle” da me disegnate. Il resto è tutta farina del loro sacco. Ogni gruppo ha letto alla classe, prima di girare il video, il testo che aveva preparato, giusto per farsi dire dai compagni se fosse sufficientemente chiaro.

Io sono molto soddisfatta, forse perché mi accontento di poco…

Video scritto e girato da Beatrice Bolognato, Gianluca Costa, Riccardo Zamengo e Sara Akremi

Video scritto e girato da Amadai Primac, Giulia Semenzato e Daniel Ferro

Video scritto e girato da Fabio Cavaciocchi, Giorgia Perugini, Alvise Lamon e Valentina Gasi

Video scritto e girato da Emma Gabana, Filippo Bortolami e Dylan Polgampolage

Video scritto e girato da Gaia Gallo, Jacopo Vesco, Irene Favaretto e Jennifer Dentici

Video scritto e girato da Gabriele Pedullà, Chiara Comellato, Emma Frigo ed Erik Amurri

La spirale degli irrazionali

A dispetto del nome, non si tratta di una via senza uscita in cui finiscono le persone che non usano la ragione, ma di un semplice disegno in cui, a partire da un triangolo rettangolo isoscele di lato unitario, si tracciano segmenti aventi per lunghezza la radice quadrata di 2, di 3 e di tutti i numeri naturali.

In realtà, da qualche parte bisogna pur fermarsi, ma possiamo pensare di procedere con la costruzione all’infinito.

Sono cosciente che si tratta di una mia (piccola) mania, di un disegno in cui io vedo una bellezza e una profondità che forse in realtà non sono così evidenti, però diciamo almeno che non sono sola! E’ vero che io sono arrivata al punto (come – con mia somma gioia – qualcuno dei miei alunni ha notato) di utilizzare questa spirale come icona che rappresenta la mia utenza in vari blog o social network, ma sono in molti ad averla studiata, a partire da un certo Teodoro di Cirene.

Qui alcuni link che potete consultare per saperne di più:

Qui un video pubblicato su Imaginary, un sito di matematica “aperta e interattiva”:

E qui invece alcuni disegno degli alunni della classe seconda C (anno scolastico 2015 / 2016):

Qui puoi vedere le stesse immagini in uno slideshow:

Compiti per il 20 maggio – seconda C

Nell’ultima lezione di geometria, a partire da una domanda di Beatrice (smettetela di maledirla), vi ho insegnato come costruire segmenti aventi per lunghezza la radice quadrata di 2, di 3 e di tutti i numeri naturali.

Per costruire questi segmenti si parte da un triagolo rettangolo isoscele e si procede seguendo le istruzioni che vi ho dato in classe, disegnando così una figura che prende il nome di spirale di Teodoro.

Se la spiegazione in classe non è stata abbastanza chiara, o se vuoi approfondire l’argomenti, ecco alcuni link che puoi consultare:

Ad ogni modo, per il 20 maggio 2016 mi aspetto un tuo file, dove la spirale sia costruita almeno fino al segmento di lunghezza radicequadrata di 17.

Ecco alcuni dei disegni dei miei alunni di qualche anni fa:

Spirale di Massimiliano

Massimiliano, Geogebra, spirale di Teodoro

Spirale di Gaia

Gaia, Geogebra, Spirale di Teodoro

Spirale di Francesca

Francesca, Geogebra, Spirale di Teodoro

Spirale di Davide

Davide, Geogebra, Spirale di Teodoro

Spirale di Riccardo

Riccardo, Geogebra, Spirale di Teodoro

Spirale di Irene ed Elisa

Irene ed Elisa, Geogebra, spirale di Teodoro

Spirale di Martina

Martina, Geogebra, Spirale di Teodoro

Spirale di Leonardo L.

Leonardo L., Geogebra, Spirale di Teodoro

Spirale di Andrea M.

Andrea M., Geogebra, Spirale di Teodoro

Spirale di Andrea

Andrea D.M., Geogebra, spirale di Teodoro

Spirale di Aurora e Matilde

Aurora e Matilde, Geogebra, Spirale di Teodoro


La seguente immagine non è di un alunno, ma di una collega: grazie a Daniela Molinari, che i miei studenti conoscono già per le sue recensioni su amolamatematica.it.
Daniela ha lasciato tutti gli elementi della costruzione e ha colorato nello stesso modo tutti i triangoli. A mio parere l’effetto è quello di lasciare che siano evidenti (dalla costruzione, appunto) le proprietà della figura e di dare un’immagine complessiva della spirale, piuttosto che dei suoi singoli spicchi.

Spirale di Teodoro di Cirene; Daniela Molinari; Geogebra.

Daniela Molinari, Geogebra, spirale di Teodoro

 

 

 

 

Compiti per il 9 maggio – prima C

Bisettrici e incentro di un triangolo

Disegna, con GeoGebra, un triangolo, le sue bisettrici e il suo incentro.

Se vuoi scoprire perché l’incentro si chiama proprio così, prosegui con la costruzione della circonferenza inscritta, seguendo le istruzioni date in questo videotutorial:

Assi e circocentro di un triangolo

Disegna, con GeoGebra, un triangolo, i suoi assi e il suo circocentro.

Se vuoi scoprire perché il circocentro si chiama proprio così, prosegui con la costruzione della circonferenza circoscritta, seguendo le istruzioni date in questo videotutorial:

Compiti per il 29 aprile – seconda C

Il teorema di Pitagora

Le ultime attività svolte in classe (e gli ultimi compiti che hai fatto a casa) ti hanno introdotto al teorema di Pitagora, il cui enunciato può essere espresso così:

Dato un qualsiasi triangolo rettangolo, il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui suoi cateti.

o così:

Dato un qualsiasi triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sulla sua ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui suoi cateti.

L’autrice del video che ti propongo di guardare per la prossima volta ha cercato di immaginare come Pitagora sia giunto alla dimostrazione di questo teorema (già noto non solo ai Greci ma anche in culture più antiche) guardando le piastrelle del pavimento del palazzo di Policrate, il tiranno di Samo da cui poi Pitagora fuggì, riparando a Crotone, in Magna Grecia.

Guardalo e riguardalo con attenzione, perché in classe vi chiederò di preparare un video simile a questo, che però sfrutti mattonelle di cartoncino, invece che mattonelle virtuali costruite con GeoGebra

Il teorema di Pitagora: la storia di una semplice dimostrazione, di Ornella Robutti

Compiti per il 27 aprile – prima C

Triangoli con GeoGebra

Innanzitutto, per chi non avesse ancora scaricato GeoGebra, questo il link al sito ufficiale, da cui scaricare il programma per installarlo sul proprio dispositivo. Come vi ho già più volte detto, vi prego, in questa prima fase di ricerca su internet ed installazione sul vostro dispositivo, di farvi aiutare da un adulto.

Il primo video incorporato in questo articolo ti ricorda come disegnare con GeoGebra triangoli isosceli, equilateri e rettangoli.
Il secondo video incorporato in questo articolo ti insegna cosa sono e come disegnare con GeoGebra triangoli emiequilateri e triangoli rettangoli isosceli.

Puoi spedirmi il tuo file al mio indirizzo di posta elettronica o consegnarmelo in classe su una chiavetta usb.

Compito

Crea un file con GeoGebra; dagli nome “cognome-nome-1c-triangoli”; l’estensione del file dovrà essere “ggb”. Sul file dovanno essere presenti i disegni e le risposte in forma completa (in modo tale che possa capire di che cosa stai parlando anche qualcuno che non ha letto le domande).

Disegna un triangolo isoscele (ossia un triangolo con due lati uguali).
Fai misurare a GeoGebra i suoi tre angoli interni. Che cosa noti?

Disegna un triangolo equilatero (ossia un triangolo con tre lati uguali).
Fai misurare a GeoGebra i suoi tre angoli interni. Che cosa noti?

Disegna un triangolo rettangolo, partendo da uno dei suoi cateti. Non nascondere le linee di costruzione.
Fai misurare a GeoGebra l’angolo retto.

Disegna un triangolo rettangolo, partendo dalla sua ipotenusa. Non nascondere le linee di costruzione.
fai misurare a GeoGebra l’angolo retto di questo triangolo.

Disegna un triangolo emiequilatero.
Fai misurare a GeoGebra i suoi angoli. Che cosa noti?

Disegna un triangolo rettangolo isoscele.
Fai misurare a GeoGebra i suoi angoli. Che cosa noti?

Come disegnare triangoli isosceli, equilateri e rettangoli

Come disegnare triangoli emiequilateri e triangoli rettangoli isosceli

Compiti per il 26 aprile – seconda C

Il teorema di Pitagora

Le ultime attività svolte in classe (e gli ultimi compiti che hai fatto a casa) ti hanno introdotto al teorema di Pitagora, il cui enunciato può essere espresso così:

Dato un qualsiasi triangolo rettangolo, il quadrato costruito sulla sua ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui suoi cateti.

o così:

Dato un qualsiasi triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sulla sua ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui suoi cateti.

L’autrice del video che ti propongo di guardare per la prossima volta ha cercato di immaginare come Pitagora sia giunto alla dimostrazione di questo teorema (già noto non solo ai Greci ma anche in culture più antiche) guardando le piastrelle del pavimento del palazzo di Policrate, il tiranno di Samo da cui poi Pitagora fuggì, riparando a Crotone, in Magna Grecia.

Guardalo con attenzione, perché in classe vi chiederò di preparare un video simile a questo, che però sfrutti mattonelle di cartoncino, invece che mattonelle virtuali costruite con GeoGebra

Il teorema di Pitagora: la storia di una semplice dimostrazione, di Ornella Robutti

Compiti per il 19 aprile – seconda C

Il teorema di Pitagora: configurazione e verifica numerica

Innanzitutto, per chi non avesse ancora scaricato GeoGebra, questo il link al sito ufficiale, da cui scaricare il programma per installarlo sul proprio dispositivo. Come vi ho già più volte detto, vi prego, in questa prima fase di ricerca su internet ed installazione sul vostro dispositivo, di farvi aiutare da un adulto.

Compito sul quaderno

Sul tuo quaderno di geometria, disegna tre triangoli rettangoli, i quadrati costruiti sui loro cateti e il quadrato costruito sulle loro ipotenuse.

Compito con GeoGebra

Crea un file con GeoGebra; dagli nome “cognome-nome-2c-pitagora”; l’estensione del file dovrà essere “ggb”.

Al termine del tuo lavoro, puoi spedirmi il file al mio indirizzo di posta elettronica o consegnarmelo in classe su una chiavetta usb. Il tuo lavoro verrà valutato. Considererò la correttezza del nome, la correttezza della costruzione in tutte le sue parti, la pulizia della costruzione (linee di costruzione nascoste, scelta dei colori).

Disegna un triangolo rettangolo. Disegna i quadrati costruiti sui suoi cateti e il quadrato costruito sulla sua ipotenusa. Fai verificare a GeoGebra che la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti sia uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa. Ti stai chiedendo come fare? Guarda il videotutorial qui sotto e troverai la risposta alla tua domanda!

Come disegnare la configurazione del teorema di Pitagora e farne una verifica numerica

Compiti per il 15 aprile – prima C

Diagonali dei poligoni con GeoGebra

Innanzitutto, per chi non avesse ancora scaricato GeoGebra, questo il link al sito ufficiale, da cui scaricare il programma per installarlo sul proprio dispositivo. Come vi ho già più volte detto, vi prego, in questa prima fase di ricerca su internet ed installazione sul vostro dispositivo, di farvi aiutare da un adulto.

I video incorporati in un precedente articolo ti mostrano come disegnare un poligono e come inserire un testo in un file di GeoGebra. Puoi sfruttali per poter eseguire anche questo compito. Il video incorporato in questo articolo ti ricorda come disegnare un poligono e ti spiega come disegnare le sue diagonali (ossia i segmenti che congiungono i vertici non consecutivi di un poligono).

Puoi spedirmi il tuo file al mio indirizzo di posta elettronica o consegnarmelo in classe su una chiavetta usb.

Compito

Crea un file con GeoGebra; dagli nome “cognome-nome-1c-diagonali”; l’estensione del file dovrà essere “ggb”. Sul file dovanno essere presenti i disegni e le risposte in forma completa (in modo tale che possa capire di che cosa stai parlando anche qualcuno che non ha letto le domande).

Disegna un triangolo.
Disegna tutte le diagonali che riesci a trovare di questo triangolo.
Quante diagonali partono da ciascun vertice?
Quante sono in tutto le diagonali?

Disegna un quadrilatero.
Disegna tutte le diagonali che riesci a trovare di questo quadrilatero.
Quante diagonali partono da ciascun vertice?
Quante sono in tutto le diagonali del quadrilatero?
Muovi un vertice, in modo che il quadrilatero diventi concavo. Il numero delle sue diagonali cambia? Come?

Disegna un pentagono (ossia un poligono con 5 lati).
Disegna tutte le diagonali che riesci a trovare di questo pentagono.
Quante diagonali partono da ciascun vertice?
Quante sono in tutto le diagonali del pentagono?
Muovi un vertice, in modo che il pentagono diventi concavo. Il numero delle sue diagonali cambia? Come?

Disegna un esagono (ossia un poligono con 6 lati).
Disegna tutte le diagonali che riesci a trovare di questo esagono.
Quante diagonali partono da ciascun vertice?
Quante sono in tutto le diagonali dell’esagono?
Muovi un vertice, in modo che l’esagono diventi concavo. Il numero delle sue diagonali cambia? Come?

Disegna un ettagono (ossia un poligono con 7 lati).
Disegna tutte le diagonali che riesci a trovare di questo ettagono.
Quante diagonali partono da ciascun vertice?
Quante sono in tutto le diagonali dell’ettagono?
Muovi un vertice, in modo che l’ettagono diventi concavo. Il numero delle sue diagonali cambia? Come?

Come disegnare le diagonali di un poligono

Compiti per l’8 aprile – prima C

Poligoni con GeoGebra

Innanzitutto, per chi non avesse ancora scaricato GeoGebra, questo il link al sito ufficiale, da cui scaricare il programma per installarlo sul proprio dispositivo. Come vi ho già più volte detto, vi prego, in questa prima fase di ricerca su internet ed installazione sul vostro dispositivo, di farvi aiutare da un adulto.

I video incorporati in questo articolo ti mostrano come disegnare un poligono e come inserire un testo in un file di GeoGebra. Sfruttali per poter eseguire il compito.

Puoi spedirmi il tuo file al mio indirizzo di posta elettronica o consegnarmelo in classe su una chiavetta usb.

Compito

Crea un file con GeoGebra; dagli nome “cognome-nome-1c-poligoni-1”; l’estensione del file dovrà essere “ggb”.

Disegna un triangolo.
Muovi, in successione, ciascuno dei suoi vertici e scrivi le tue risposte alle seguenti domande (in forma completa, in modo tale che possa capire di che cosa stai parlando anche qualcuno che non ha letto le domande):

  • può un triangolo essere stellato?
  • può un triangolo essere concavo?

Disegna un quadrilatero.
Muovi, in successione, ciascuno dei suoi vertici e scrivi le tue risposte alle seguenti domande (in forma completa, in modo tale che possa capire di che cosa stai parlando anche qualcuno che le ha lette):

  • può un quadrilatero essere stellato?
  • in quanti punti (al massimo) si possono incrociare i lati di un quadrilatero stellato?
  • può un quadrilatero essere concavo?
  • quanti angoli concavi (al massimo) può avere un quadrilatero concavo?

Disegna un pentagono.
Muovi, in successione, ciascuno dei suoi vertici e scrivi le tue risposte alle seguenti domande (in forma completa, in modo tale che possa capire di che cosa stai parlando anche qualcuno che le ha lette):

  • può un pentagono essere stellato?
  • in quanti punti (al massimo) si possono incrociare i lati di un pentagono stellato?
  • può un pentagono essere concavo?
  • quanti angoli concavi (al massimo) può avere un pentagono concavo?

Come disegnare un poligono

Come inserire un testo

Poliedro di Szilassi

Puoi scaricare e stampare lo sviluppo piano del poliedro di Szilassi dal file allegato. L’ho io stessa scaricato dal sito Cut out fold up.

Poliedro di Szilassi
Titolo: Poliedro di Szilassi (0 click)
Etichetta:
Filename: szilassi.pdf
Dimensione: 47 KB

Per vedere come montarlo guarda questo video:

Se vuoi capire perché questo poliedro affascina tanto i matematici, puoi iniziare da Base 5, il blog curato dal professor Gianfranco Bo.

Compiti per la classe terza C per il 16 ottobre 2015

Il compito consiste nella costruzione di un file con GeoGebra e nel rispondere ad alcune domande. Potrai rispondere alle domande creando un Testo all’interno del file di GeoGebra, oppure (se mi invii il file tramite posta elettronica), nel messaggio al quale allegherai il file.

Ricordati della regola che ci siamo dati per i nomi dei files: in questo caso dovrà essere cognome_nome_2c_omotetia.ggb

Costruisci un file di GeoGebrea per studiare le omotetie, utilizzando gli strumenti Slider e Omotetia

Osservare le figure omotetiche

Con lo strumento Poligono disegna un pentagono.
Con lo strumento Punto disegna un punto esterno al pentagono e chiamalo O.
Seleziona il comando Slider. Fai click in un punto qualunque della vista grafica. Ti comparirà una finestra di controllo in cui dovrai selezionare la voce Numero, scegliere come nome k e come intervallo da -4 a +4, lasciando come incremento 0,1. Dopo aver cliccato su Applica, ti compare nella vista grafica una linea con un punto. Selezionando lo strumento Muovi puoi trascinare questo punto sulla linea; trascinandolo, cambia il valore del numero k. Muovi il punto dello slider fino ad ottenere k = 2.

Seleziona lo strumento Omotetia, poi seleziona il poligono, il punto O e (nella finestrella che ti chiede il Rapporto) digita k (proprio la stessa lettera che hai scelto prima), infine clicca su OK.

A questo punto Geogebra ti ha disegnato il pentagono che è il trasformato del tuo tramite l’omotetia di centro O e di rapporto k = 2.
Ma se adesso selezioni il comando Muovi e trascini il punto sullo slider, cambia il rapporto dell’omotetia e di conseguenza la figura creata. Funziona?

Domande

5.1. Esiste un valore di k per il quale la figura trasformata coincide con la figura originale? Se sì, che valore è?
5.2. Esiste un valore di k per il quale la figura trasformata si riduce ad un punto? Se sì, che valore é?
5.3. Per quali valori di k la figura trasformata è più piccola dell’originale?
5.4. Per quali valori di k la figura trasformata è più grande dell’originale?
5.5. Per quali valori di k la figura trasformata è congruente all’originale?

Con lo strumento Muovi trascina il punto O dentro il pentagono. Poi fai variare il valore di k trascinando il punto sullo slider.

5.6. Possiamo dire che ciascun lato della figura trasformata è perpendicolare al lato corrispondente nella figura originale?
5.7. Possiamo dire che ciascun lato della figura trasformata è parallelo al lato corrispondente nella figura originale?

Il triangolo è indeformabile

Anche nella prima C di quest’anno abbiamo parlato del fatto che i triangoli sono figure indeformabili. Per capire meglio, abbiamo creato due strutture in cartoncino: una composta da elementi la cui sezione è triangolare, l’altra composta da elementi a sezione quadrata.

Come già mostrato in un altro articolo, la struttura composta da elementi a sezione triangolare resiste ad un peso molto maggiore. Nella galleria qui sotto si vede, per esempio, che la struttura a sezione quadrata cede sotto il peso di un solo diario, mentre quella a sezione triangolare riesce a sostenerne sei!

In più, quest’anno, siamo usciti dalla nostra aula e abbiamo cercato oggetti reali in cui si sfrutti questa proprietà dei triangoli per dare maggiore solidità a qualche struttura.

Il compito assegnato per la prossima volta è quello di fotografare o disegnare altri manufatti in cui la forma triangolare sia scelta per il medesimo scopo.

Ecco alcune foto inviate da Gianluca: grazie!

Ed eccone altre inviate da Gabriele: bravi!

Anche Jacopo ha inviato alcune immagini molto interessanti.

Ed ecco altre immagini ricevute.

Poliedri

Anche quest’anno, in terza, abbiamo costruito alcuni poliedri a partire dal loro sviluppo piano, stampato su cartoncino. Il lavoro di costruzione è proseguito più o meno casualmente; a dire la verità siamo partiti da solidi abbastanza facili da costruire per arrivare solo alla fine ai più complessi.

Solo quando ormai li avevamo tutti a disposizione, ci siamo chiesti in che modo avremmo potuto classificarli e solo dopo attente riflessioni e qualche discussione abbiamo imparato alcune classi in cui i matematici veri li suddividono. In questo articolo riprendiamo questa classificazione e le risposte ad alcune delle domande che ci siamo posti nel lavorare.

1. Poliedri regolari (detti anche solidi platonici)

Chiamiamo regolare un poliedro se le sue facce sono poligoni regolari uguali fra loro e se in ogni vertice concorrono lo stesso numero di facce.

Tetraedro regolare

Ha 4 facce a forma di triangolo equilatero, 4 vertici e 6 spigoli.

Sviluppo piano del tetraedro regolare
Titolo: tetraedro (0 click)
Etichetta: Sviluppo piano del tetraedro regolare
Filename: tetraedro.pdf
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Cubo o esaedro regolare

Ha 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli.

Sviluppo piano del cubo
Titolo: esaedro (0 click)
Etichetta: Sviluppo piano del cubo
Filename: esaedro.pdf
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Ottaedro regolare

Ha 8 facce a forma di triangolo equilatero, 6 vertici e 12 spigoli.

Sviluppo piano dell'ottaedro regolare
Titolo: ottaedro (0 click)
Etichetta: Sviluppo piano dell'ottaedro regolare
Filename: ottaedro-3.pdf
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Dodecaedro regolare

Ha 12 facce a forma di pentagono regolare, 20 vertici e 30 spigoli.

Sviluppo piano del dodecaedro regolare
Titolo: dodecaedro (0 click)
Etichetta: Sviluppo piano del dodecaedro regolare
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Icosaedro regolare

Ha 20 facce a forma di triangolo equilatero, 12 vertici e 30 spigoli.

Sviluppo piano del cubottaedro
Titolo: cubottaedro (0 click)
Etichetta: Sviluppo piano del cubottaedro
Filename: cubottaedro-2.pdf
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2. Esempi di poliedri semiregolari (detti anche solidi archimedei)

Cubottaedro

Ha 6 facce quadrate e 8 facce a forma di triangolo equilatero, 24 spigoli e 12 vertici.

Sviluppo piano del cubottaedro
Titolo: cubottaedro (0 click)
Etichetta: Sviluppo piano del cubottaedro
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Icosidodecaedro

Ha 12 facce a forma di pentagono regolare e 20 facce a forma di triangolo equilatero, 60 spigoli e 30 vertici.

Cubo troncato

Ha 6 facce a forma di ottagono regolare, 8 facce a forma di triangolo equilatero, 36 spigoli e 24 vertici.

Sviluppo piano del cubo troncato
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Etichetta: Sviluppo piano del cubo troncato
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Rombicubottaedro

Ha 18 facce quadrate e 8 facce a forma di triangolo equilatero, 48 spigoli e 24 vertici.

 

Cubo camuso

Ha 6 facce quadrate e 32 facce a forma di triangolo equilatero, 60 spigoli e 24 vertici.

3. Esempi di solidi di Catalan

Esacontaedro pentagonale

Ha 60 facce pentagonali, 150 spigoli e 92 vertici. Per ogni coppia di facce, esiste una simmetria del solido che sposta la prima nella seconda. Questo lo rende un buon dado da gioco.

Dodecaedro rombico

Il dodecaedro rombico ha 12 facce a forma di rombo (le cui diagonali possiedono lo stesso rapporto che sussiste tra il lato e la diagonale di un quadrato), 24 spigoli e 14 vertici. Per ogni coppia di facce, esiste una simmetria del solido che sposta la prima nella seconda. Questo lo rende un buon dado da gioco.

Sviluppo piano del dodecaedro rombico
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Etichetta: Sviluppo piano del dodecaedro rombico
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4. Esempi di poliedri di Keplero – Poinsot

Piccolo dodecaedro stellato

Ha 12 facce a forma di stella pentagonale, 30 spigoli e 12 vertici.

5. Esempi di poliedri composti

Stella octangula

Ha 8 facce a forma di triangolo equilatero, 12 spigoli e 8 vertici. Si ottiene componendo due tetraedri regolari uguali, uno ruotato rispetto all’altro di 180° e uniti nei baricentri.

6. Caleidocicli

I caleidocicli sono solidi formati da una catena di più tetraedri (in generale non regolari), uniti uno all’altro tramite uno spigolo, chiusa in modo da formare un anello.

7. Alcune domande

E’ possibile calcolare il numero degli spigoli a partire dal numero delle facce?

Poichè ogni spigolo è sempre comune a due facce, il numero degli spigoli si può sempre trovare dividendo a metà la somma dei prodotti tra il numero delle facce di un certo tipo e il numero dei lati delle facce di quel tipo.

E’ possibile calcolare il numero dei vertici a partire dal numero delle facce?

Solo per quei poliedri per i quali il numero delle facce concorrenti in un vertice è sempre lo stesso (diciamo n), il numero degli spigoli si può trovare dividendo per n la somma dei prodotti tra il numero delle facce di un certo tipo e il numero dei vertici delle facce di quel tipo.

Esiste una relazione tra il numero delle facce, quello dei vertici e quello degli spigoli?

Solo per i poliedri semplicemente connessi (ossia senza buchi) è possibile dimostrare la formula di Eulero. Detto f il numero delle facce di un poliedro, v il numero dei suoi vertici e s il numero dei suoi spigoli si ha

f + v = s + 2

In classe abbiamo anche dato una traccia per una dimostrazione di questo fatto.

 

I ponti di Koenigsberg

Königsberg è una città, un tempo parte della Prussia Orientale, oggi exclave russa sul Baltico nota con il nome di Kaliningrad.

Mappa di Koenigsberg, Merian-Erben, 1652

Questa città è percorsa dal fiume Pregel che, ad un certo punto, si divide in due rami formando un’isola in corrispondenza della biforcazione. Il territorio della città è così diviso in quattro aree, collegate tra loro da sette punti, come in figura.

Matematita. Schema dei ponti di Koenigsberg.

La situazione puù ulteriormente essere schematizzata dalla seguente figura, in cui si evidenzia l’isola A, le sponde B e C, la parte interna alla biforcazione D:

Gianfranco Bo. I ponti di Koenigsberg.

Ora, la domanda è: è possibile fare una passeggiata, passando su tutti i ponti e su ciascun ponte una sola volta?

Triangoli indeformabili (o quasi)

In classe abbiamo creato due strutture in cartoncino: una composta da elementi la cui sezione è triangolare, l’altra composta da elementi a sezione quadrata.